Rezolvați 90m^2-137m-45

$$90 m ^ { 2 } - 137 m - 45$$

Descompunere în factori

$$\left(5m-9\right)\left(18m+5\right)$$

Pașii soluției

Descompuneți expresia în factori prin grupare. Mai întâi, expresia trebuie să fie rescrisă ca 90m^{2}+am+bm-45. Pentru a găsi a și b, configurați un sistem pentru a fi rezolvat.

$$a+b=-137 ab=90\left(-45\right)=-4050$$

Deoarece ab este negativ, a și b au semne opuse. Deoarece a+b este negativ, numărul negativ are o valoare absolută mai mare decât valoarea pozitivă. Listează toate perechi de valori întregi care oferă produse -4050.

$$1,-4050 2,-2025 3,-1350 5,-810 6,-675 9,-450 10,-405 15,-270 18,-225 25,-162 27,-150 30,-135 45,-90 50,-81 54,-75$$

Calculați suma pentru fiecare pereche.

$$1-4050=-4049 2-2025=-2023 3-1350=-1347 5-810=-805 6-675=-669 9-450=-441 10-405=-395 15-270=-255 18-225=-207 25-162=-137 27-150=-123 30-135=-105 45-90=-45 50-81=-31 54-75=-21$$

Soluția este perechea care dă suma de -137.

$$a=-162 b=25$$

Rescrieți 90m^{2}-137m-45 ca \left(90m^{2}-162m\right)+\left(25m-45\right).

$$\left(90m^{2}-162m\right)+\left(25m-45\right)$$

Factor 18m în primul și 5 în al doilea grup.

$$18m\left(5m-9\right)+5\left(5m-9\right)$$

Scoateți termenul comun 5m-9 prin utilizarea proprietății de distributivitate.

$$\left(5m-9\right)\left(18m+5\right)$$

Pași folosind formula rădăcinilor ecuației de gradul al doilea

Polinomul de gradul doi se poate descompune în factori folosind transformarea ax^{2}+bx+c=a\left(x-x_{1}\right)\left(x-x_{2}\right), unde x_{1} și x_{2} sunt soluțiile ecuației de gradul doi ax^{2}+bx+c=0.

$$90m^{2}-137m-45=0$$

Toate ecuațiile de forma ax^{2}+bx+c=0 pot fi rezolvate utilizând formula rădăcinilor ecuației de gradul al doilea: \frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a}. Formula rădăcinilor ecuației de gradul al doilea oferă două soluții, una atunci când operația ± este de adunare și una atunci când este de scădere.

$$m=\frac{-\left(-137\right)±\sqrt{\left(-137\right)^{2}-4\times 90\left(-45\right)}}{2\times 90}$$

Ridicați -137 la pătrat.

$$m=\frac{-\left(-137\right)±\sqrt{18769-4\times 90\left(-45\right)}}{2\times 90}$$

Înmulțiți -4 cu 90.

$$m=\frac{-\left(-137\right)±\sqrt{18769-360\left(-45\right)}}{2\times 90}$$

Înmulțiți -360 cu -45.

$$m=\frac{-\left(-137\right)±\sqrt{18769+16200}}{2\times 90}$$

Adunați 18769 cu 16200.

$$m=\frac{-\left(-137\right)±\sqrt{34969}}{2\times 90}$$

Aflați rădăcina pătrată pentru 34969.

$$m=\frac{-\left(-137\right)±187}{2\times 90}$$

Opusul lui -137 este 137.

$$m=\frac{137±187}{2\times 90}$$

Înmulțiți 2 cu 90.

$$m=\frac{137±187}{180}$$

Acum rezolvați ecuația m=\frac{137±187}{180} atunci când ± este plus. Adunați 137 cu 187.

$$m=\frac{324}{180}$$

Reduceți fracția \frac{324}{180} la cei mai mici termeni, prin extragerea și reducerea 36.

$$m=\frac{9}{5}$$

Acum rezolvați ecuația m=\frac{137±187}{180} atunci când ± este minus. Scădeți 187 din 137.

$$m=-\frac{50}{180}$$

Reduceți fracția \frac{-50}{180} la cei mai mici termeni, prin extragerea și reducerea 10.

$$m=-\frac{5}{18}$$

Descompuneți în factori expresia inițială utilizând ax^{2}+bx+c=a\left(x-x_{1}\right)\left(x-x_{2}\right). Înlocuiți x_{1} cu \frac{9}{5} și x_{2} cu -\frac{5}{18}.

$$90m^{2}-137m-45=90\left(m-\frac{9}{5}\right)\left(m-\left(-\frac{5}{18}\right)\right)$$

Simplificați toate expresiile formei p-\left(-q\right) la p+q.

$$90m^{2}-137m-45=90\left(m-\frac{9}{5}\right)\left(m+\frac{5}{18}\right)$$

Scădeți \frac{9}{5} din m găsind un numitor comun și scăzând numărătorii. Apoi simplificați fracția până devine ireductibilă, dacă este posibil.

$$90m^{2}-137m-45=90\times \frac{5m-9}{5}\left(m+\frac{5}{18}\right)$$

Adunați \frac{5}{18} cu m găsind un numitor comun și adunând numărătorii. Apoi simplificați fracția până devine ireductibilă, dacă este posibil.

$$90m^{2}-137m-45=90\times \frac{5m-9}{5}\times \frac{18m+5}{18}$$

Înmulțiți \frac{5m-9}{5} cu \frac{18m+5}{18} prin înmulțirea valorilor de la numărător și a valorilor de la numitor. Apoi simplificați fracția până devine ireductibilă, dacă este posibil.

$$90m^{2}-137m-45=90\times \frac{\left(5m-9\right)\left(18m+5\right)}{5\times 18}$$

Înmulțiți 5 cu 18.

$$90m^{2}-137m-45=90\times \frac{\left(5m-9\right)\left(18m+5\right)}{90}$$

Simplificați cu 90, cel mai mare factor comun din 90 și 90.

$$90m^{2}-137m-45=\left(5m-9\right)\left(18m+5\right)$$

Evaluați

$$\left(5m-9\right)\left(18m+5\right)$$