Rezolvați 9y^2-12y+4=y^2

$$9 y ^ { 2 } - 12 y + 4 = y ^ { 2 }$$

Rezolvați pentru y

$$y=\frac{1}{2}=0,5$$

$$y=1$$

Pași utilizând descompunerea în factori prin grupare

Scădeți y^{2} din ambele părți.

$$9y^{2}-12y+4-y^{2}=0$$

Combinați 9y^{2} cu -y^{2} pentru a obține 8y^{2}.

$$8y^{2}-12y+4=0$$

Se împart ambele părți la 4.

$$2y^{2}-3y+1=0$$

Pentru a rezolva ecuația, factor mâna stângă după grupare. Mai întâi, fața la stânga trebuie să fie rescrisă ca 2y^{2}+ay+by+1. Pentru a găsi a și b, configurați un sistem pentru a fi rezolvat.

$$a+b=-3 ab=2\times 1=2$$

Deoarece ab este pozitiv, a și b au același semn. Deoarece a+b este negativ, a și b sunt negative. Singura astfel de pereche este soluția de sistem.

$$a=-2 b=-1$$

Rescrieți 2y^{2}-3y+1 ca \left(2y^{2}-2y\right)+\left(-y+1\right).

$$\left(2y^{2}-2y\right)+\left(-y+1\right)$$

Factor 2y în primul și -1 în al doilea grup.

$$2y\left(y-1\right)-\left(y-1\right)$$

Scoateți termenul comun y-1 prin utilizarea proprietății de distributivitate.

$$\left(y-1\right)\left(2y-1\right)$$

Pentru a găsi soluții de ecuații, rezolvați y-1=0 și 2y-1=0.

$$y=1 y=\frac{1}{2}$$

Pași folosind formula rădăcinilor ecuației de gradul al doilea

Scădeți y^{2} din ambele părți.

$$9y^{2}-12y+4-y^{2}=0$$

Combinați 9y^{2} cu -y^{2} pentru a obține 8y^{2}.

$$8y^{2}-12y+4=0$$

Această ecuație este în formă standard: ax^{2}+bx+c=0. Înlocuiți a cu 8, b cu -12 și c cu 4 în formula rădăcinilor ecuațiilor de gradul al doilea, \frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a}.

$$y=\frac{-\left(-12\right)±\sqrt{\left(-12\right)^{2}-4\times 8\times 4}}{2\times 8}$$

Ridicați -12 la pătrat.

$$y=\frac{-\left(-12\right)±\sqrt{144-4\times 8\times 4}}{2\times 8}$$

Înmulțiți -4 cu 8.

$$y=\frac{-\left(-12\right)±\sqrt{144-32\times 4}}{2\times 8}$$

Înmulțiți -32 cu 4.

$$y=\frac{-\left(-12\right)±\sqrt{144-128}}{2\times 8}$$

Adunați 144 cu -128.

$$y=\frac{-\left(-12\right)±\sqrt{16}}{2\times 8}$$

Aflați rădăcina pătrată pentru 16.

$$y=\frac{-\left(-12\right)±4}{2\times 8}$$

Opusul lui -12 este 12.

$$y=\frac{12±4}{2\times 8}$$

Înmulțiți 2 cu 8.

$$y=\frac{12±4}{16}$$

Acum rezolvați ecuația y=\frac{12±4}{16} atunci când ± este plus. Adunați 12 cu 4.

$$y=\frac{16}{16}$$

Împărțiți 16 la 16.

$$y=1$$

Acum rezolvați ecuația y=\frac{12±4}{16} atunci când ± este minus. Scădeți 4 din 12.

$$y=\frac{8}{16}$$

Reduceți fracția \frac{8}{16} la cei mai mici termeni, prin extragerea și reducerea 8.

$$y=\frac{1}{2}$$

Ecuația este rezolvată acum.

$$y=1 y=\frac{1}{2}$$

Pași pentru completarea pătratului

Scădeți y^{2} din ambele părți.

$$9y^{2}-12y+4-y^{2}=0$$

Combinați 9y^{2} cu -y^{2} pentru a obține 8y^{2}.

$$8y^{2}-12y+4=0$$

Scădeți 4 din ambele părți. Orice se scade din zero dă negativul său.

$$8y^{2}-12y=-4$$

Se împart ambele părți la 8.

$$\frac{8y^{2}-12y}{8}=-\frac{4}{8}$$

Împărțirea la 8 anulează înmulțirea cu 8.

$$y^{2}+\left(-\frac{12}{8}\right)y=-\frac{4}{8}$$

Reduceți fracția \frac{-12}{8} la cei mai mici termeni, prin extragerea și reducerea 4.

$$y^{2}-\frac{3}{2}y=-\frac{4}{8}$$

Reduceți fracția \frac{-4}{8} la cei mai mici termeni, prin extragerea și reducerea 4.

$$y^{2}-\frac{3}{2}y=-\frac{1}{2}$$

Împărțiți -\frac{3}{2}, coeficientul termenului x, la 2 pentru a obține -\frac{3}{4}. Apoi, adunați pătratul lui -\frac{3}{4} la ambele părți ale ecuației. Acest pas face din partea stângă a ecuației un pătrat perfect.

$$y^{2}-\frac{3}{2}y+\left(-\frac{3}{4}\right)^{2}=-\frac{1}{2}+\left(-\frac{3}{4}\right)^{2}$$

Ridicați -\frac{3}{4} la pătrat, calculând pătratul pentru numărătorul și numitorul fracției.

$$y^{2}-\frac{3}{2}y+\frac{9}{16}=-\frac{1}{2}+\frac{9}{16}$$

Adunați -\frac{1}{2} cu \frac{9}{16} găsind un numitor comun și adunând numărătorii. Apoi simplificați fracția până devine ireductibilă, dacă este posibil.

$$y^{2}-\frac{3}{2}y+\frac{9}{16}=\frac{1}{16}$$

Factor y^{2}-\frac{3}{2}y+\frac{9}{16}. În general, atunci când x^{2}+bx+c este un pătrat perfect, el poate fi descompus în factori oricând ca \left(x+\frac{b}{2}\right)^{2}.

$$\left(y-\frac{3}{4}\right)^{2}=\frac{1}{16}$$

Aflați rădăcina pătrată pentru ambele părți ale ecuației.

$$\sqrt{\left(y-\frac{3}{4}\right)^{2}}=\sqrt{\frac{1}{16}}$$

Simplificați.

$$y-\frac{3}{4}=\frac{1}{4} y-\frac{3}{4}=-\frac{1}{4}$$

Adunați \frac{3}{4} la ambele părți ale ecuației.

$$y=1 y=\frac{1}{2}$$