Rezolvați 9y^2-12y+4

$$9 y ^ { 2 } - 12 y + 4$$

Descompunere în factori

$$\left(3y-2\right)^{2}$$

Pașii soluției

Descompuneți expresia în factori prin grupare. Mai întâi, expresia trebuie să fie rescrisă ca 9y^{2}+ay+by+4. Pentru a găsi a și b, configurați un sistem pentru a fi rezolvat.

$$a+b=-12 ab=9\times 4=36$$

Deoarece ab este pozitiv, a și b au același semn. Deoarece a+b este negativ, a și b sunt negative. Listează toate perechi de valori întregi care oferă produse 36.

$$-1,-36 -2,-18 -3,-12 -4,-9 -6,-6$$

Calculați suma pentru fiecare pereche.

$$-1-36=-37 -2-18=-20 -3-12=-15 -4-9=-13 -6-6=-12$$

Soluția este perechea care dă suma de -12.

$$a=-6 b=-6$$

Rescrieți 9y^{2}-12y+4 ca \left(9y^{2}-6y\right)+\left(-6y+4\right).

$$\left(9y^{2}-6y\right)+\left(-6y+4\right)$$

Factor 3y în primul și -2 în al doilea grup.

$$3y\left(3y-2\right)-2\left(3y-2\right)$$

Scoateți termenul comun 3y-2 prin utilizarea proprietății de distributivitate.

$$\left(3y-2\right)\left(3y-2\right)$$

Rescrieți ca binom pătrat.

$$\left(3y-2\right)^{2}$$

Pași utilizând pătratul binomului

Acest trinom are forma unui pătrat de trinom, înmulțit probabil cu un factor comun. Pătratele de trinom pot fi descompuse în factori prin găsirea rădăcinilor pătrate ale termenilor de început și de sfârșit.

$$factor(9y^{2}-12y+4)$$

Găsiți cel mai mare divizor comun al coeficienților.

$$gcf(9,-12,4)=1$$

Aflați rădăcina pătrată a termenului de la început, 9y^{2}.

$$\sqrt{9y^{2}}=3y$$

Aflați rădăcina pătrată a termenului de la sfârșit, 4.

$$\sqrt{4}=2$$

Pătratul trinomului este pătratul binomului ce reprezintă suma sau diferența rădăcinilor pătrate ale termenilor de început și de sfârșit, cu semnul determinat de semnul termenului de mijloc al pătratului trinomului.

$$\left(3y-2\right)^{2}$$

Pași folosind formula rădăcinilor ecuației de gradul al doilea

Polinomul de gradul doi se poate descompune în factori folosind transformarea ax^{2}+bx+c=a\left(x-x_{1}\right)\left(x-x_{2}\right), unde x_{1} și x_{2} sunt soluțiile ecuației de gradul doi ax^{2}+bx+c=0.

$$9y^{2}-12y+4=0$$

Toate ecuațiile de forma ax^{2}+bx+c=0 pot fi rezolvate utilizând formula rădăcinilor ecuației de gradul al doilea: \frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a}. Formula rădăcinilor ecuației de gradul al doilea oferă două soluții, una atunci când operația ± este de adunare și una atunci când este de scădere.

$$y=\frac{-\left(-12\right)±\sqrt{\left(-12\right)^{2}-4\times 9\times 4}}{2\times 9}$$

Ridicați -12 la pătrat.

$$y=\frac{-\left(-12\right)±\sqrt{144-4\times 9\times 4}}{2\times 9}$$

Înmulțiți -4 cu 9.

$$y=\frac{-\left(-12\right)±\sqrt{144-36\times 4}}{2\times 9}$$

Înmulțiți -36 cu 4.

$$y=\frac{-\left(-12\right)±\sqrt{144-144}}{2\times 9}$$

Adunați 144 cu -144.

$$y=\frac{-\left(-12\right)±\sqrt{0}}{2\times 9}$$

Aflați rădăcina pătrată pentru 0.

$$y=\frac{-\left(-12\right)±0}{2\times 9}$$

Opusul lui -12 este 12.

$$y=\frac{12±0}{2\times 9}$$

Înmulțiți 2 cu 9.

$$y=\frac{12±0}{18}$$

Descompuneți în factori expresia inițială utilizând ax^{2}+bx+c=a\left(x-x_{1}\right)\left(x-x_{2}\right). Înlocuiți x_{1} cu \frac{2}{3} și x_{2} cu \frac{2}{3}.

$$9y^{2}-12y+4=9\left(y-\frac{2}{3}\right)\left(y-\frac{2}{3}\right)$$

Scădeți \frac{2}{3} din y găsind un numitor comun și scăzând numărătorii. Apoi simplificați fracția până devine ireductibilă, dacă este posibil.

$$9y^{2}-12y+4=9\times \frac{3y-2}{3}\left(y-\frac{2}{3}\right)$$

Scădeți \frac{2}{3} din y găsind un numitor comun și scăzând numărătorii. Apoi simplificați fracția până devine ireductibilă, dacă este posibil.

$$9y^{2}-12y+4=9\times \frac{3y-2}{3}\times \frac{3y-2}{3}$$

Înmulțiți \frac{3y-2}{3} cu \frac{3y-2}{3} prin înmulțirea valorilor de la numărător și a valorilor de la numitor. Apoi simplificați fracția până devine ireductibilă, dacă este posibil.

$$9y^{2}-12y+4=9\times \frac{\left(3y-2\right)\left(3y-2\right)}{3\times 3}$$

Înmulțiți 3 cu 3.

$$9y^{2}-12y+4=9\times \frac{\left(3y-2\right)\left(3y-2\right)}{9}$$

Simplificați cu 9, cel mai mare factor comun din 9 și 9.

$$9y^{2}-12y+4=\left(3y-2\right)\left(3y-2\right)$$

Evaluați

$$\left(3y-2\right)^{2}$$