Rezolvați 9y^2-12y+2=0

$$9 y ^ { 2 } - 12 y + 2 = 0$$

Rezolvați pentru y

$$y = \frac{\sqrt{2} + 2}{3} \approx 1,138071187$$

$$y=\frac{2-\sqrt{2}}{3}\approx 0,195262146$$

Pași folosind formula rădăcinilor ecuației de gradul al doilea

Toate ecuațiile de forma ax^{2}+bx+c=0 pot fi rezolvate utilizând formula rădăcinilor ecuației de gradul al doilea: \frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a}. Formula rădăcinilor ecuației de gradul al doilea oferă două soluții, una atunci când operația ± este de adunare și una atunci când este de scădere.

$$9y^{2}-12y+2=0$$

Această ecuație este în formă standard: ax^{2}+bx+c=0. Înlocuiți a cu 9, b cu -12 și c cu 2 în formula rădăcinilor ecuațiilor de gradul al doilea, \frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a}.

$$y=\frac{-\left(-12\right)±\sqrt{\left(-12\right)^{2}-4\times 9\times 2}}{2\times 9}$$

Ridicați -12 la pătrat.

$$y=\frac{-\left(-12\right)±\sqrt{144-4\times 9\times 2}}{2\times 9}$$

Înmulțiți -4 cu 9.

$$y=\frac{-\left(-12\right)±\sqrt{144-36\times 2}}{2\times 9}$$

Înmulțiți -36 cu 2.

$$y=\frac{-\left(-12\right)±\sqrt{144-72}}{2\times 9}$$

Adunați 144 cu -72.

$$y=\frac{-\left(-12\right)±\sqrt{72}}{2\times 9}$$

Aflați rădăcina pătrată pentru 72.

$$y=\frac{-\left(-12\right)±6\sqrt{2}}{2\times 9}$$

Opusul lui -12 este 12.

$$y=\frac{12±6\sqrt{2}}{2\times 9}$$

Înmulțiți 2 cu 9.

$$y=\frac{12±6\sqrt{2}}{18}$$

Acum rezolvați ecuația y=\frac{12±6\sqrt{2}}{18} atunci când ± este plus. Adunați 12 cu 6\sqrt{2}.

$$y=\frac{6\sqrt{2}+12}{18}$$

Împărțiți 12+6\sqrt{2} la 18.

$$y=\frac{\sqrt{2}+2}{3}$$

Acum rezolvați ecuația y=\frac{12±6\sqrt{2}}{18} atunci când ± este minus. Scădeți 6\sqrt{2} din 12.

$$y=\frac{12-6\sqrt{2}}{18}$$

Împărțiți 12-6\sqrt{2} la 18.

$$y=\frac{2-\sqrt{2}}{3}$$

Ecuația este rezolvată acum.

$$y=\frac{\sqrt{2}+2}{3} y=\frac{2-\sqrt{2}}{3}$$

Pași pentru completarea pătratului

Ecuațiile de gradul doi ca aceasta pot fi rezolvate prin completarea pătratului. Pentru a completa pătratul, ecuația trebuie mai întâi să fie sub forma x^{2}+bx=c.

$$9y^{2}-12y+2=0$$

Scădeți 2 din ambele părți ale ecuației.

$$9y^{2}-12y+2-2=-2$$

Scăderea 2 din el însuși are ca rezultat 0.

$$9y^{2}-12y=-2$$

Se împart ambele părți la 9.

$$\frac{9y^{2}-12y}{9}=-\frac{2}{9}$$

Împărțirea la 9 anulează înmulțirea cu 9.

$$y^{2}+\left(-\frac{12}{9}\right)y=-\frac{2}{9}$$

Reduceți fracția \frac{-12}{9} la cei mai mici termeni, prin extragerea și reducerea 3.

$$y^{2}-\frac{4}{3}y=-\frac{2}{9}$$

Împărțiți -\frac{4}{3}, coeficientul termenului x, la 2 pentru a obține -\frac{2}{3}. Apoi, adunați pătratul lui -\frac{2}{3} la ambele părți ale ecuației. Acest pas face din partea stângă a ecuației un pătrat perfect.

$$y^{2}-\frac{4}{3}y+\left(-\frac{2}{3}\right)^{2}=-\frac{2}{9}+\left(-\frac{2}{3}\right)^{2}$$

Ridicați -\frac{2}{3} la pătrat, calculând pătratul pentru numărătorul și numitorul fracției.

$$y^{2}-\frac{4}{3}y+\frac{4}{9}=\frac{-2+4}{9}$$

Adunați -\frac{2}{9} cu \frac{4}{9} găsind un numitor comun și adunând numărătorii. Apoi simplificați fracția până devine ireductibilă, dacă este posibil.

$$y^{2}-\frac{4}{3}y+\frac{4}{9}=\frac{2}{9}$$

Factorul y^{2}-\frac{4}{3}y+\frac{4}{9}. În general, când x^{2}+bx+c este un pătrat perfect, acesta poate fi descompus întotdeauna în factori ca \left(x+\frac{b}{2}\right)^{2}.

$$\left(y-\frac{2}{3}\right)^{2}=\frac{2}{9}$$

Aflați rădăcina pătrată pentru ambele părți ale ecuației.

$$\sqrt{\left(y-\frac{2}{3}\right)^{2}}=\sqrt{\frac{2}{9}}$$

Simplificați.

$$y-\frac{2}{3}=\frac{\sqrt{2}}{3} y-\frac{2}{3}=-\frac{\sqrt{2}}{3}$$

Adunați \frac{2}{3} la ambele părți ale ecuației.

$$y=\frac{\sqrt{2}+2}{3} y=\frac{2-\sqrt{2}}{3}$$