Rezolvați 9y^2+3y+24=0

$$9 y ^ { 2 } + 3 y + 24 = 0$$

Rezolvați pentru y

$$y=\frac{-1+\sqrt{95}i}{6}\approx -0,166666667+1,624465724i$$

$$y=\frac{-\sqrt{95}i-1}{6}\approx -0,166666667-1,624465724i$$

Pași folosind formula rădăcinilor ecuației de gradul al doilea

Toate ecuațiile de forma ax^{2}+bx+c=0 pot fi rezolvate utilizând formula rădăcinilor ecuației de gradul al doilea: \frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a}. Formula rădăcinilor ecuației de gradul al doilea oferă două soluții, una atunci când operația ± este de adunare și una atunci când este de scădere.

$$9y^{2}+3y+24=0$$

Această ecuație este în formă standard: ax^{2}+bx+c=0. Înlocuiți a cu 9, b cu 3 și c cu 24 în formula rădăcinilor ecuațiilor de gradul al doilea, \frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a}.

$$y=\frac{-3±\sqrt{3^{2}-4\times 9\times 24}}{2\times 9}$$

Ridicați 3 la pătrat.

$$y=\frac{-3±\sqrt{9-4\times 9\times 24}}{2\times 9}$$

Înmulțiți -4 cu 9.

$$y=\frac{-3±\sqrt{9-36\times 24}}{2\times 9}$$

Înmulțiți -36 cu 24.

$$y=\frac{-3±\sqrt{9-864}}{2\times 9}$$

Adunați 9 cu -864.

$$y=\frac{-3±\sqrt{-855}}{2\times 9}$$

Aflați rădăcina pătrată pentru -855.

$$y=\frac{-3±3\sqrt{95}i}{2\times 9}$$

Înmulțiți 2 cu 9.

$$y=\frac{-3±3\sqrt{95}i}{18}$$

Acum rezolvați ecuația y=\frac{-3±3\sqrt{95}i}{18} atunci când ± este plus. Adunați -3 cu 3i\sqrt{95}.

$$y=\frac{-3+3\sqrt{95}i}{18}$$

Împărțiți -3+3i\sqrt{95} la 18.

$$y=\frac{-1+\sqrt{95}i}{6}$$

Acum rezolvați ecuația y=\frac{-3±3\sqrt{95}i}{18} atunci când ± este minus. Scădeți 3i\sqrt{95} din -3.

$$y=\frac{-3\sqrt{95}i-3}{18}$$

Împărțiți -3-3i\sqrt{95} la 18.

$$y=\frac{-\sqrt{95}i-1}{6}$$

Ecuația este rezolvată acum.

$$y=\frac{-1+\sqrt{95}i}{6} y=\frac{-\sqrt{95}i-1}{6}$$

Pași pentru completarea pătratului

Ecuațiile de gradul doi ca aceasta pot fi rezolvate prin completarea pătratului. Pentru a completa pătratul, ecuația trebuie mai întâi să fie sub forma x^{2}+bx=c.

$$9y^{2}+3y+24=0$$

Scădeți 24 din ambele părți ale ecuației.

$$9y^{2}+3y+24-24=-24$$

Scăderea 24 din el însuși are ca rezultat 0.

$$9y^{2}+3y=-24$$

Se împart ambele părți la 9.

$$\frac{9y^{2}+3y}{9}=-\frac{24}{9}$$

Împărțirea la 9 anulează înmulțirea cu 9.

$$y^{2}+\frac{3}{9}y=-\frac{24}{9}$$

Reduceți fracția \frac{3}{9} la cei mai mici termeni, prin extragerea și reducerea 3.

$$y^{2}+\frac{1}{3}y=-\frac{24}{9}$$

Reduceți fracția \frac{-24}{9} la cei mai mici termeni, prin extragerea și reducerea 3.

$$y^{2}+\frac{1}{3}y=-\frac{8}{3}$$

Împărțiți \frac{1}{3}, coeficientul termenului x, la 2 pentru a obține \frac{1}{6}. Apoi, adunați pătratul lui \frac{1}{6} la ambele părți ale ecuației. Acest pas face din partea stângă a ecuației un pătrat perfect.

$$y^{2}+\frac{1}{3}y+\left(\frac{1}{6}\right)^{2}=-\frac{8}{3}+\left(\frac{1}{6}\right)^{2}$$

Ridicați \frac{1}{6} la pătrat, calculând pătratul pentru numărătorul și numitorul fracției.

$$y^{2}+\frac{1}{3}y+\frac{1}{36}=-\frac{8}{3}+\frac{1}{36}$$

Adunați -\frac{8}{3} cu \frac{1}{36} găsind un numitor comun și adunând numărătorii. Apoi simplificați fracția până devine ireductibilă, dacă este posibil.

$$y^{2}+\frac{1}{3}y+\frac{1}{36}=-\frac{95}{36}$$

Factor y^{2}+\frac{1}{3}y+\frac{1}{36}. În general, atunci când x^{2}+bx+c este un pătrat perfect, el poate fi descompus în factori oricând ca \left(x+\frac{b}{2}\right)^{2}.

$$\left(y+\frac{1}{6}\right)^{2}=-\frac{95}{36}$$

Aflați rădăcina pătrată pentru ambele părți ale ecuației.

$$\sqrt{\left(y+\frac{1}{6}\right)^{2}}=\sqrt{-\frac{95}{36}}$$

Simplificați.

$$y+\frac{1}{6}=\frac{\sqrt{95}i}{6} y+\frac{1}{6}=-\frac{\sqrt{95}i}{6}$$

Scădeți \frac{1}{6} din ambele părți ale ecuației.

$$y=\frac{-1+\sqrt{95}i}{6} y=\frac{-\sqrt{95}i-1}{6}$$