Rezolvați 9x^2-4x-2=0

$$9 x ^ { 2 } - 4 x - 2 = 0$$

Rezolvați pentru x

$$x=\frac{\sqrt{22}+2}{9}\approx 0,743379529$$

$$x=\frac{2-\sqrt{22}}{9}\approx -0,298935084$$

Pași folosind formula rădăcinilor ecuației de gradul al doilea

Toate ecuațiile de forma ax^{2}+bx+c=0 pot fi rezolvate utilizând formula rădăcinilor ecuației de gradul al doilea: \frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a}. Formula rădăcinilor ecuației de gradul al doilea oferă două soluții, una atunci când operația ± este de adunare și una atunci când este de scădere.

$$9x^{2}-4x-2=0$$

Această ecuație este în formă standard: ax^{2}+bx+c=0. Înlocuiți a cu 9, b cu -4 și c cu -2 în formula rădăcinilor ecuațiilor de gradul al doilea, \frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a}.

$$x=\frac{-\left(-4\right)±\sqrt{\left(-4\right)^{2}-4\times 9\left(-2\right)}}{2\times 9}$$

Ridicați -4 la pătrat.

$$x=\frac{-\left(-4\right)±\sqrt{16-4\times 9\left(-2\right)}}{2\times 9}$$

Înmulțiți -4 cu 9.

$$x=\frac{-\left(-4\right)±\sqrt{16-36\left(-2\right)}}{2\times 9}$$

Înmulțiți -36 cu -2.

$$x=\frac{-\left(-4\right)±\sqrt{16+72}}{2\times 9}$$

Adunați 16 cu 72.

$$x=\frac{-\left(-4\right)±\sqrt{88}}{2\times 9}$$

Aflați rădăcina pătrată pentru 88.

$$x=\frac{-\left(-4\right)±2\sqrt{22}}{2\times 9}$$

Opusul lui -4 este 4.

$$x=\frac{4±2\sqrt{22}}{2\times 9}$$

Înmulțiți 2 cu 9.

$$x=\frac{4±2\sqrt{22}}{18}$$

Acum rezolvați ecuația x=\frac{4±2\sqrt{22}}{18} atunci când ± este plus. Adunați 4 cu 2\sqrt{22}.

$$x=\frac{2\sqrt{22}+4}{18}$$

Împărțiți 4+2\sqrt{22} la 18.

$$x=\frac{\sqrt{22}+2}{9}$$

Acum rezolvați ecuația x=\frac{4±2\sqrt{22}}{18} atunci când ± este minus. Scădeți 2\sqrt{22} din 4.

$$x=\frac{4-2\sqrt{22}}{18}$$

Împărțiți 4-2\sqrt{22} la 18.

$$x=\frac{2-\sqrt{22}}{9}$$

Ecuația este rezolvată acum.

$$x=\frac{\sqrt{22}+2}{9} x=\frac{2-\sqrt{22}}{9}$$

Pași pentru completarea pătratului

Ecuațiile de gradul doi ca aceasta pot fi rezolvate prin completarea pătratului. Pentru a completa pătratul, ecuația trebuie mai întâi să fie sub forma x^{2}+bx=c.

$$9x^{2}-4x-2=0$$

Adunați 2 la ambele părți ale ecuației.

$$9x^{2}-4x-2-\left(-2\right)=-\left(-2\right)$$

Scăderea -2 din el însuși are ca rezultat 0.

$$9x^{2}-4x=-\left(-2\right)$$

Scădeți -2 din 0.

$$9x^{2}-4x=2$$

Se împart ambele părți la 9.

$$\frac{9x^{2}-4x}{9}=\frac{2}{9}$$

Împărțirea la 9 anulează înmulțirea cu 9.

$$x^{2}-\frac{4}{9}x=\frac{2}{9}$$

Împărțiți -\frac{4}{9}, coeficientul termenului x, la 2 pentru a obține -\frac{2}{9}. Apoi, adunați pătratul lui -\frac{2}{9} la ambele părți ale ecuației. Acest pas face din partea stângă a ecuației un pătrat perfect.

$$x^{2}-\frac{4}{9}x+\left(-\frac{2}{9}\right)^{2}=\frac{2}{9}+\left(-\frac{2}{9}\right)^{2}$$

Ridicați -\frac{2}{9} la pătrat, calculând pătratul pentru numărătorul și numitorul fracției.

$$x^{2}-\frac{4}{9}x+\frac{4}{81}=\frac{2}{9}+\frac{4}{81}$$

Adunați \frac{2}{9} cu \frac{4}{81} găsind un numitor comun și adunând numărătorii. Apoi simplificați fracția până devine ireductibilă, dacă este posibil.

$$x^{2}-\frac{4}{9}x+\frac{4}{81}=\frac{22}{81}$$

Factor x^{2}-\frac{4}{9}x+\frac{4}{81}. În general, atunci când x^{2}+bx+c este un pătrat perfect, el poate fi descompus în factori oricând ca \left(x+\frac{b}{2}\right)^{2}.

$$\left(x-\frac{2}{9}\right)^{2}=\frac{22}{81}$$

Aflați rădăcina pătrată pentru ambele părți ale ecuației.

$$\sqrt{\left(x-\frac{2}{9}\right)^{2}}=\sqrt{\frac{22}{81}}$$

Simplificați.

$$x-\frac{2}{9}=\frac{\sqrt{22}}{9} x-\frac{2}{9}=-\frac{\sqrt{22}}{9}$$

Adunați \frac{2}{9} la ambele părți ale ecuației.

$$x=\frac{\sqrt{22}+2}{9} x=\frac{2-\sqrt{22}}{9}$$