Rezolvați 9x^2-24x=65

$$9 x ^ { 2 } - 24 x = 65$$

Rezolvați pentru x

$$x = -\frac{5}{3} = -1\frac{2}{3} \approx -1,666666667$$

$$x = \frac{13}{3} = 4\frac{1}{3} \approx 4,333333333$$

Pași utilizând descompunerea în factori prin grupare

Scădeți 65 din ambele părți.

$$9x^{2}-24x-65=0$$

Pentru a rezolva ecuația, factor mâna stângă după grupare. Mai întâi, fața la stânga trebuie să fie rescrisă ca 9x^{2}+ax+bx-65. Pentru a găsi a și b, configurați un sistem pentru a fi rezolvat.

$$a+b=-24 ab=9\left(-65\right)=-585$$

Deoarece ab este negativ, a și b au semne opuse. Deoarece a+b este negativ, numărul negativ are o valoare absolută mai mare decât valoarea pozitivă. Listează toate perechi de valori întregi care oferă produse -585.

$$1,-585 3,-195 5,-117 9,-65 13,-45 15,-39$$

Calculați suma pentru fiecare pereche.

$$1-585=-584 3-195=-192 5-117=-112 9-65=-56 13-45=-32 15-39=-24$$

Soluția este perechea care dă suma de -24.

$$a=-39 b=15$$

Rescrieți 9x^{2}-24x-65 ca \left(9x^{2}-39x\right)+\left(15x-65\right).

$$\left(9x^{2}-39x\right)+\left(15x-65\right)$$

Factor 3x în primul și 5 în al doilea grup.

$$3x\left(3x-13\right)+5\left(3x-13\right)$$

Scoateți termenul comun 3x-13 prin utilizarea proprietății de distributivitate.

$$\left(3x-13\right)\left(3x+5\right)$$

Pentru a găsi soluții de ecuații, rezolvați 3x-13=0 și 3x+5=0.

$$x=\frac{13}{3} x=-\frac{5}{3}$$

Pași folosind formula rădăcinilor ecuației de gradul al doilea

Toate ecuațiile de forma ax^{2}+bx+c=0 pot fi rezolvate utilizând formula rădăcinilor ecuației de gradul al doilea: \frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a}. Formula rădăcinilor ecuației de gradul al doilea oferă două soluții, una atunci când operația ± este de adunare și una atunci când este de scădere.

$$9x^{2}-24x=65$$

Scădeți 65 din ambele părți ale ecuației.

$$9x^{2}-24x-65=65-65$$

Scăderea 65 din el însuși are ca rezultat 0.

$$9x^{2}-24x-65=0$$

Această ecuație este în formă standard: ax^{2}+bx+c=0. Înlocuiți a cu 9, b cu -24 și c cu -65 în formula rădăcinilor ecuațiilor de gradul al doilea, \frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a}.

$$x=\frac{-\left(-24\right)±\sqrt{\left(-24\right)^{2}-4\times 9\left(-65\right)}}{2\times 9}$$

Ridicați -24 la pătrat.

$$x=\frac{-\left(-24\right)±\sqrt{576-4\times 9\left(-65\right)}}{2\times 9}$$

Înmulțiți -4 cu 9.

$$x=\frac{-\left(-24\right)±\sqrt{576-36\left(-65\right)}}{2\times 9}$$

Înmulțiți -36 cu -65.

$$x=\frac{-\left(-24\right)±\sqrt{576+2340}}{2\times 9}$$

Adunați 576 cu 2340.

$$x=\frac{-\left(-24\right)±\sqrt{2916}}{2\times 9}$$

Aflați rădăcina pătrată pentru 2916.

$$x=\frac{-\left(-24\right)±54}{2\times 9}$$

Opusul lui -24 este 24.

$$x=\frac{24±54}{2\times 9}$$

Înmulțiți 2 cu 9.

$$x=\frac{24±54}{18}$$

Acum rezolvați ecuația x=\frac{24±54}{18} atunci când ± este plus. Adunați 24 cu 54.

$$x=\frac{78}{18}$$

Reduceți fracția \frac{78}{18} la cei mai mici termeni, prin extragerea și reducerea 6.

$$x=\frac{13}{3}$$

Acum rezolvați ecuația x=\frac{24±54}{18} atunci când ± este minus. Scădeți 54 din 24.

$$x=-\frac{30}{18}$$

Reduceți fracția \frac{-30}{18} la cei mai mici termeni, prin extragerea și reducerea 6.

$$x=-\frac{5}{3}$$

Ecuația este rezolvată acum.

$$x=\frac{13}{3} x=-\frac{5}{3}$$

Pași pentru completarea pătratului

Ecuațiile de gradul doi ca aceasta pot fi rezolvate prin completarea pătratului. Pentru a completa pătratul, ecuația trebuie mai întâi să fie sub forma x^{2}+bx=c.

$$9x^{2}-24x=65$$

Se împart ambele părți la 9.

$$\frac{9x^{2}-24x}{9}=\frac{65}{9}$$

Împărțirea la 9 anulează înmulțirea cu 9.

$$x^{2}+\left(-\frac{24}{9}\right)x=\frac{65}{9}$$

Reduceți fracția \frac{-24}{9} la cei mai mici termeni, prin extragerea și reducerea 3.

$$x^{2}-\frac{8}{3}x=\frac{65}{9}$$

Împărțiți -\frac{8}{3}, coeficientul termenului x, la 2 pentru a obține -\frac{4}{3}. Apoi, adunați pătratul lui -\frac{4}{3} la ambele părți ale ecuației. Acest pas face din partea stângă a ecuației un pătrat perfect.

$$x^{2}-\frac{8}{3}x+\left(-\frac{4}{3}\right)^{2}=\frac{65}{9}+\left(-\frac{4}{3}\right)^{2}$$

Ridicați -\frac{4}{3} la pătrat, calculând pătratul pentru numărătorul și numitorul fracției.

$$x^{2}-\frac{8}{3}x+\frac{16}{9}=\frac{65+16}{9}$$

Adunați \frac{65}{9} cu \frac{16}{9} găsind un numitor comun și adunând numărătorii. Apoi simplificați fracția până devine ireductibilă, dacă este posibil.

$$x^{2}-\frac{8}{3}x+\frac{16}{9}=9$$

Factor x^{2}-\frac{8}{3}x+\frac{16}{9}. În general, atunci când x^{2}+bx+c este un pătrat perfect, el poate fi descompus în factori oricând ca \left(x+\frac{b}{2}\right)^{2}.

$$\left(x-\frac{4}{3}\right)^{2}=9$$

Aflați rădăcina pătrată pentru ambele părți ale ecuației.

$$\sqrt{\left(x-\frac{4}{3}\right)^{2}}=\sqrt{9}$$

Simplificați.

$$x-\frac{4}{3}=3 x-\frac{4}{3}=-3$$

Adunați \frac{4}{3} la ambele părți ale ecuației.

$$x=\frac{13}{3} x=-\frac{5}{3}$$