Rezolvați 9x^2-22x+4=0

$$9 x ^ { 2 } - 22 x + 4 = 0$$

Rezolvați pentru x

$$x = \frac{\sqrt{85} + 11}{9} \approx 2,246616051$$

$$x=\frac{11-\sqrt{85}}{9}\approx 0,197828394$$

Pași folosind formula rădăcinilor ecuației de gradul al doilea

Toate ecuațiile de forma ax^{2}+bx+c=0 pot fi rezolvate utilizând formula rădăcinilor ecuației de gradul al doilea: \frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a}. Formula rădăcinilor ecuației de gradul al doilea oferă două soluții, una atunci când operația ± este de adunare și una atunci când este de scădere.

$$9x^{2}-22x+4=0$$

Această ecuație este în formă standard: ax^{2}+bx+c=0. Înlocuiți a cu 9, b cu -22 și c cu 4 în formula rădăcinilor ecuațiilor de gradul al doilea, \frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a}.

$$x=\frac{-\left(-22\right)±\sqrt{\left(-22\right)^{2}-4\times 9\times 4}}{2\times 9}$$

Ridicați -22 la pătrat.

$$x=\frac{-\left(-22\right)±\sqrt{484-4\times 9\times 4}}{2\times 9}$$

Înmulțiți -4 cu 9.

$$x=\frac{-\left(-22\right)±\sqrt{484-36\times 4}}{2\times 9}$$

Înmulțiți -36 cu 4.

$$x=\frac{-\left(-22\right)±\sqrt{484-144}}{2\times 9}$$

Adunați 484 cu -144.

$$x=\frac{-\left(-22\right)±\sqrt{340}}{2\times 9}$$

Aflați rădăcina pătrată pentru 340.

$$x=\frac{-\left(-22\right)±2\sqrt{85}}{2\times 9}$$

Opusul lui -22 este 22.

$$x=\frac{22±2\sqrt{85}}{2\times 9}$$

Înmulțiți 2 cu 9.

$$x=\frac{22±2\sqrt{85}}{18}$$

Acum rezolvați ecuația x=\frac{22±2\sqrt{85}}{18} atunci când ± este plus. Adunați 22 cu 2\sqrt{85}.

$$x=\frac{2\sqrt{85}+22}{18}$$

Împărțiți 22+2\sqrt{85} la 18.

$$x=\frac{\sqrt{85}+11}{9}$$

Acum rezolvați ecuația x=\frac{22±2\sqrt{85}}{18} atunci când ± este minus. Scădeți 2\sqrt{85} din 22.

$$x=\frac{22-2\sqrt{85}}{18}$$

Împărțiți 22-2\sqrt{85} la 18.

$$x=\frac{11-\sqrt{85}}{9}$$

Ecuația este rezolvată acum.

$$x=\frac{\sqrt{85}+11}{9} x=\frac{11-\sqrt{85}}{9}$$

Pași pentru completarea pătratului

Ecuațiile de gradul doi ca aceasta pot fi rezolvate prin completarea pătratului. Pentru a completa pătratul, ecuația trebuie mai întâi să fie sub forma x^{2}+bx=c.

$$9x^{2}-22x+4=0$$

Scădeți 4 din ambele părți ale ecuației.

$$9x^{2}-22x+4-4=-4$$

Scăderea 4 din el însuși are ca rezultat 0.

$$9x^{2}-22x=-4$$

Se împart ambele părți la 9.

$$\frac{9x^{2}-22x}{9}=-\frac{4}{9}$$

Împărțirea la 9 anulează înmulțirea cu 9.

$$x^{2}-\frac{22}{9}x=-\frac{4}{9}$$

Împărțiți -\frac{22}{9}, coeficientul termenului x, la 2 pentru a obține -\frac{11}{9}. Apoi, adunați pătratul lui -\frac{11}{9} la ambele părți ale ecuației. Acest pas face din partea stângă a ecuației un pătrat perfect.

$$x^{2}-\frac{22}{9}x+\left(-\frac{11}{9}\right)^{2}=-\frac{4}{9}+\left(-\frac{11}{9}\right)^{2}$$

Ridicați -\frac{11}{9} la pătrat, calculând pătratul pentru numărătorul și numitorul fracției.

$$x^{2}-\frac{22}{9}x+\frac{121}{81}=-\frac{4}{9}+\frac{121}{81}$$

Adunați -\frac{4}{9} cu \frac{121}{81} găsind un numitor comun și adunând numărătorii. Apoi simplificați fracția până devine ireductibilă, dacă este posibil.

$$x^{2}-\frac{22}{9}x+\frac{121}{81}=\frac{85}{81}$$

Factor x^{2}-\frac{22}{9}x+\frac{121}{81}. În general, atunci când x^{2}+bx+c este un pătrat perfect, el poate fi descompus în factori oricând ca \left(x+\frac{b}{2}\right)^{2}.

$$\left(x-\frac{11}{9}\right)^{2}=\frac{85}{81}$$

Aflați rădăcina pătrată pentru ambele părți ale ecuației.

$$\sqrt{\left(x-\frac{11}{9}\right)^{2}}=\sqrt{\frac{85}{81}}$$

Simplificați.

$$x-\frac{11}{9}=\frac{\sqrt{85}}{9} x-\frac{11}{9}=-\frac{\sqrt{85}}{9}$$

Adunați \frac{11}{9} la ambele părți ale ecuației.

$$x=\frac{\sqrt{85}+11}{9} x=\frac{11-\sqrt{85}}{9}$$