Rezolvați 9x^2-14x-14=0

$$9 x ^ { 2 } - 14 x - 14 = 0$$

Rezolvați pentru x

$$x = \frac{5 \sqrt{7} + 7}{9} \approx 2.247639617$$

$$x=\frac{7-5\sqrt{7}}{9}\approx -0.692084062$$

Pași folosind formula rădăcinilor ecuației de gradul al doilea

Toate ecuațiile de forma ax^{2}+bx+c=0 pot fi rezolvate utilizând formula rădăcinilor ecuației de gradul al doilea: \frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a}. Formula rădăcinilor ecuației de gradul al doilea oferă două soluții, una atunci când operația ± este de adunare și una atunci când este de scădere.

$$9x^{2}-14x-14=0$$

Această ecuație este în formă standard: ax^{2}+bx+c=0. Înlocuiți a cu 9, b cu -14 și c cu -14 în formula rădăcinilor ecuațiilor de gradul al doilea, \frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a}.

$$x=\frac{-\left(-14\right)±\sqrt{\left(-14\right)^{2}-4\times 9\left(-14\right)}}{2\times 9}$$

Ridicați -14 la pătrat.

$$x=\frac{-\left(-14\right)±\sqrt{196-4\times 9\left(-14\right)}}{2\times 9}$$

Înmulțiți -4 cu 9.

$$x=\frac{-\left(-14\right)±\sqrt{196-36\left(-14\right)}}{2\times 9}$$

Înmulțiți -36 cu -14.

$$x=\frac{-\left(-14\right)±\sqrt{196+504}}{2\times 9}$$

Adunați 196 cu 504.

$$x=\frac{-\left(-14\right)±\sqrt{700}}{2\times 9}$$

Aflați rădăcina pătrată pentru 700.

$$x=\frac{-\left(-14\right)±10\sqrt{7}}{2\times 9}$$

Opusul lui -14 este 14.

$$x=\frac{14±10\sqrt{7}}{2\times 9}$$

Înmulțiți 2 cu 9.

$$x=\frac{14±10\sqrt{7}}{18}$$

Acum rezolvați ecuația x=\frac{14±10\sqrt{7}}{18} atunci când ± este plus. Adunați 14 cu 10\sqrt{7}.

$$x=\frac{10\sqrt{7}+14}{18}$$

Împărțiți 14+10\sqrt{7} la 18.

$$x=\frac{5\sqrt{7}+7}{9}$$

Acum rezolvați ecuația x=\frac{14±10\sqrt{7}}{18} atunci când ± este minus. Scădeți 10\sqrt{7} din 14.

$$x=\frac{14-10\sqrt{7}}{18}$$

Împărțiți 14-10\sqrt{7} la 18.

$$x=\frac{7-5\sqrt{7}}{9}$$

Ecuația este rezolvată acum.

$$x=\frac{5\sqrt{7}+7}{9} x=\frac{7-5\sqrt{7}}{9}$$

Pași pentru completarea pătratului

Ecuațiile de gradul doi ca aceasta pot fi rezolvate prin completarea pătratului. Pentru a completa pătratul, ecuația trebuie mai întâi să fie sub forma x^{2}+bx=c.

$$9x^{2}-14x-14=0$$

Adunați 14 la ambele părți ale ecuației.

$$9x^{2}-14x-14-\left(-14\right)=-\left(-14\right)$$

Scăderea -14 din el însuși are ca rezultat 0.

$$9x^{2}-14x=-\left(-14\right)$$

Scădeți -14 din 0.

$$9x^{2}-14x=14$$

Se împart ambele părți la 9.

$$\frac{9x^{2}-14x}{9}=\frac{14}{9}$$

Împărțirea la 9 anulează înmulțirea cu 9.

$$x^{2}-\frac{14}{9}x=\frac{14}{9}$$

Împărțiți -\frac{14}{9}, coeficientul termenului x, la 2 pentru a obține -\frac{7}{9}. Apoi, adunați pătratul lui -\frac{7}{9} la ambele părți ale ecuației. Acest pas face din partea stângă a ecuației un pătrat perfect.

$$x^{2}-\frac{14}{9}x+\left(-\frac{7}{9}\right)^{2}=\frac{14}{9}+\left(-\frac{7}{9}\right)^{2}$$

Ridicați -\frac{7}{9} la pătrat, calculând pătratul pentru numărătorul și numitorul fracției.

$$x^{2}-\frac{14}{9}x+\frac{49}{81}=\frac{14}{9}+\frac{49}{81}$$

Adunați \frac{14}{9} cu \frac{49}{81} găsind un numitor comun și adunând numărătorii. Apoi simplificați fracția până devine ireductibilă, dacă este posibil.

$$x^{2}-\frac{14}{9}x+\frac{49}{81}=\frac{175}{81}$$

Factorul x^{2}-\frac{14}{9}x+\frac{49}{81}. În general, când x^{2}+bx+c este un pătrat perfect, acesta poate fi descompus întotdeauna în factori ca \left(x+\frac{b}{2}\right)^{2}.

$$\left(x-\frac{7}{9}\right)^{2}=\frac{175}{81}$$

Aflați rădăcina pătrată pentru ambele părți ale ecuației.

$$\sqrt{\left(x-\frac{7}{9}\right)^{2}}=\sqrt{\frac{175}{81}}$$

Simplificați.

$$x-\frac{7}{9}=\frac{5\sqrt{7}}{9} x-\frac{7}{9}=-\frac{5\sqrt{7}}{9}$$

Adunați \frac{7}{9} la ambele părți ale ecuației.

$$x=\frac{5\sqrt{7}+7}{9} x=\frac{7-5\sqrt{7}}{9}$$