Rezolvați 9x^2+x+11=0

$$9 x ^ { 2 } + x + 11 = 0$$

Rezolvați pentru x (complex solution)

$$x=\frac{-1+\sqrt{395}i}{18}\approx -0,055555556+1,104144829i$$

$$x=\frac{-\sqrt{395}i-1}{18}\approx -0,055555556-1,104144829i$$

Pași folosind formula rădăcinilor ecuației de gradul al doilea

Toate ecuațiile de forma ax^{2}+bx+c=0 pot fi rezolvate utilizând formula rădăcinilor ecuației de gradul al doilea: \frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a}. Formula rădăcinilor ecuației de gradul al doilea oferă două soluții, una atunci când operația ± este de adunare și una atunci când este de scădere.

$$9x^{2}+x+11=0$$

Această ecuație este în formă standard: ax^{2}+bx+c=0. Înlocuiți a cu 9, b cu 1 și c cu 11 în formula rădăcinilor ecuațiilor de gradul al doilea, \frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a}.

$$x=\frac{-1±\sqrt{1^{2}-4\times 9\times 11}}{2\times 9}$$

Ridicați 1 la pătrat.

$$x=\frac{-1±\sqrt{1-4\times 9\times 11}}{2\times 9}$$

Înmulțiți -4 cu 9.

$$x=\frac{-1±\sqrt{1-36\times 11}}{2\times 9}$$

Înmulțiți -36 cu 11.

$$x=\frac{-1±\sqrt{1-396}}{2\times 9}$$

Adunați 1 cu -396.

$$x=\frac{-1±\sqrt{-395}}{2\times 9}$$

Aflați rădăcina pătrată pentru -395.

$$x=\frac{-1±\sqrt{395}i}{2\times 9}$$

Înmulțiți 2 cu 9.

$$x=\frac{-1±\sqrt{395}i}{18}$$

Acum rezolvați ecuația x=\frac{-1±\sqrt{395}i}{18} atunci când ± este plus. Adunați -1 cu i\sqrt{395}.

$$x=\frac{-1+\sqrt{395}i}{18}$$

Acum rezolvați ecuația x=\frac{-1±\sqrt{395}i}{18} atunci când ± este minus. Scădeți i\sqrt{395} din -1.

$$x=\frac{-\sqrt{395}i-1}{18}$$

Ecuația este rezolvată acum.

$$x=\frac{-1+\sqrt{395}i}{18} x=\frac{-\sqrt{395}i-1}{18}$$

Pași pentru completarea pătratului

Ecuațiile de gradul doi ca aceasta pot fi rezolvate prin completarea pătratului. Pentru a completa pătratul, ecuația trebuie mai întâi să fie sub forma x^{2}+bx=c.

$$9x^{2}+x+11=0$$

Scădeți 11 din ambele părți ale ecuației.

$$9x^{2}+x+11-11=-11$$

Scăderea 11 din el însuși are ca rezultat 0.

$$9x^{2}+x=-11$$

Se împart ambele părți la 9.

$$\frac{9x^{2}+x}{9}=-\frac{11}{9}$$

Împărțirea la 9 anulează înmulțirea cu 9.

$$x^{2}+\frac{1}{9}x=-\frac{11}{9}$$

Împărțiți \frac{1}{9}, coeficientul termenului x, la 2 pentru a obține \frac{1}{18}. Apoi, adunați pătratul lui \frac{1}{18} la ambele părți ale ecuației. Acest pas face din partea stângă a ecuației un pătrat perfect.

$$x^{2}+\frac{1}{9}x+\left(\frac{1}{18}\right)^{2}=-\frac{11}{9}+\left(\frac{1}{18}\right)^{2}$$

Ridicați \frac{1}{18} la pătrat, calculând pătratul pentru numărătorul și numitorul fracției.

$$x^{2}+\frac{1}{9}x+\frac{1}{324}=-\frac{11}{9}+\frac{1}{324}$$

Adunați -\frac{11}{9} cu \frac{1}{324} găsind un numitor comun și adunând numărătorii. Apoi simplificați fracția până devine ireductibilă, dacă este posibil.

$$x^{2}+\frac{1}{9}x+\frac{1}{324}=-\frac{395}{324}$$

Factor x^{2}+\frac{1}{9}x+\frac{1}{324}. În general, atunci când x^{2}+bx+c este un pătrat perfect, el poate fi descompus în factori oricând ca \left(x+\frac{b}{2}\right)^{2}.

$$\left(x+\frac{1}{18}\right)^{2}=-\frac{395}{324}$$

Aflați rădăcina pătrată pentru ambele părți ale ecuației.

$$\sqrt{\left(x+\frac{1}{18}\right)^{2}}=\sqrt{-\frac{395}{324}}$$

Simplificați.

$$x+\frac{1}{18}=\frac{\sqrt{395}i}{18} x+\frac{1}{18}=-\frac{\sqrt{395}i}{18}$$

Scădeți \frac{1}{18} din ambele părți ale ecuației.

$$x=\frac{-1+\sqrt{395}i}{18} x=\frac{-\sqrt{395}i-1}{18}$$