Rezolvați 9x^2+9x=1

$$9 x ^ { 2 } + 9 x = 1$$

Rezolvați pentru x

$$x=\frac{\sqrt{13}}{6}-\frac{1}{2}\approx 0,100925213$$

$$x=-\frac{\sqrt{13}}{6}-\frac{1}{2}\approx -1,100925213$$

Pași folosind formula rădăcinilor ecuației de gradul al doilea

Toate ecuațiile de forma ax^{2}+bx+c=0 pot fi rezolvate utilizând formula rădăcinilor ecuației de gradul al doilea: \frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a}. Formula rădăcinilor ecuației de gradul al doilea oferă două soluții, una atunci când operația ± este de adunare și una atunci când este de scădere.

$$9x^{2}+9x=1$$

Scădeți 1 din ambele părți ale ecuației.

$$9x^{2}+9x-1=1-1$$

Scăderea 1 din el însuși are ca rezultat 0.

$$9x^{2}+9x-1=0$$

Această ecuație este în formă standard: ax^{2}+bx+c=0. Înlocuiți a cu 9, b cu 9 și c cu -1 în formula rădăcinilor ecuațiilor de gradul al doilea, \frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a}.

$$x=\frac{-9±\sqrt{9^{2}-4\times 9\left(-1\right)}}{2\times 9}$$

Ridicați 9 la pătrat.

$$x=\frac{-9±\sqrt{81-4\times 9\left(-1\right)}}{2\times 9}$$

Înmulțiți -4 cu 9.

$$x=\frac{-9±\sqrt{81-36\left(-1\right)}}{2\times 9}$$

Înmulțiți -36 cu -1.

$$x=\frac{-9±\sqrt{81+36}}{2\times 9}$$

Adunați 81 cu 36.

$$x=\frac{-9±\sqrt{117}}{2\times 9}$$

Aflați rădăcina pătrată pentru 117.

$$x=\frac{-9±3\sqrt{13}}{2\times 9}$$

Înmulțiți 2 cu 9.

$$x=\frac{-9±3\sqrt{13}}{18}$$

Acum rezolvați ecuația x=\frac{-9±3\sqrt{13}}{18} atunci când ± este plus. Adunați -9 cu 3\sqrt{13}.

$$x=\frac{3\sqrt{13}-9}{18}$$

Împărțiți -9+3\sqrt{13} la 18.

$$x=\frac{\sqrt{13}}{6}-\frac{1}{2}$$

Acum rezolvați ecuația x=\frac{-9±3\sqrt{13}}{18} atunci când ± este minus. Scădeți 3\sqrt{13} din -9.

$$x=\frac{-3\sqrt{13}-9}{18}$$

Împărțiți -9-3\sqrt{13} la 18.

$$x=-\frac{\sqrt{13}}{6}-\frac{1}{2}$$

Ecuația este rezolvată acum.

$$x=\frac{\sqrt{13}}{6}-\frac{1}{2} x=-\frac{\sqrt{13}}{6}-\frac{1}{2}$$

Pași pentru completarea pătratului

Ecuațiile de gradul doi ca aceasta pot fi rezolvate prin completarea pătratului. Pentru a completa pătratul, ecuația trebuie mai întâi să fie sub forma x^{2}+bx=c.

$$9x^{2}+9x=1$$

Se împart ambele părți la 9.

$$\frac{9x^{2}+9x}{9}=\frac{1}{9}$$

Împărțirea la 9 anulează înmulțirea cu 9.

$$x^{2}+\frac{9}{9}x=\frac{1}{9}$$

Împărțiți 9 la 9.

$$x^{2}+x=\frac{1}{9}$$

Împărțiți 1, coeficientul termenului x, la 2 pentru a obține \frac{1}{2}. Apoi, adunați pătratul lui \frac{1}{2} la ambele părți ale ecuației. Acest pas face din partea stângă a ecuației un pătrat perfect.

$$x^{2}+x+\left(\frac{1}{2}\right)^{2}=\frac{1}{9}+\left(\frac{1}{2}\right)^{2}$$

Ridicați \frac{1}{2} la pătrat, calculând pătratul pentru numărătorul și numitorul fracției.

$$x^{2}+x+\frac{1}{4}=\frac{1}{9}+\frac{1}{4}$$

Adunați \frac{1}{9} cu \frac{1}{4} găsind un numitor comun și adunând numărătorii. Apoi simplificați fracția până devine ireductibilă, dacă este posibil.

$$x^{2}+x+\frac{1}{4}=\frac{13}{36}$$

Factor x^{2}+x+\frac{1}{4}. În general, atunci când x^{2}+bx+c este un pătrat perfect, el poate fi descompus în factori oricând ca \left(x+\frac{b}{2}\right)^{2}.

$$\left(x+\frac{1}{2}\right)^{2}=\frac{13}{36}$$

Aflați rădăcina pătrată pentru ambele părți ale ecuației.

$$\sqrt{\left(x+\frac{1}{2}\right)^{2}}=\sqrt{\frac{13}{36}}$$

Simplificați.

$$x+\frac{1}{2}=\frac{\sqrt{13}}{6} x+\frac{1}{2}=-\frac{\sqrt{13}}{6}$$

Scădeți \frac{1}{2} din ambele părți ale ecuației.

$$x=\frac{\sqrt{13}}{6}-\frac{1}{2} x=-\frac{\sqrt{13}}{6}-\frac{1}{2}$$