Rezolvați 9x^2+6x+9=0

$$9 x ^ { 2 } + 6 x + 9 = 0$$

Rezolvați pentru x (complex solution)

$$x=\frac{-1+2\sqrt{2}i}{3}\approx -0,333333333+0,942809042i$$

$$x=\frac{-2\sqrt{2}i-1}{3}\approx -0,333333333-0,942809042i$$

Pași folosind formula rădăcinilor ecuației de gradul al doilea

Toate ecuațiile de forma ax^{2}+bx+c=0 pot fi rezolvate utilizând formula rădăcinilor ecuației de gradul al doilea: \frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a}. Formula rădăcinilor ecuației de gradul al doilea oferă două soluții, una atunci când operația ± este de adunare și una atunci când este de scădere.

$$9x^{2}+6x+9=0$$

Această ecuație este în formă standard: ax^{2}+bx+c=0. Înlocuiți a cu 9, b cu 6 și c cu 9 în formula rădăcinilor ecuațiilor de gradul al doilea, \frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a}.

$$x=\frac{-6±\sqrt{6^{2}-4\times 9\times 9}}{2\times 9}$$

Ridicați 6 la pătrat.

$$x=\frac{-6±\sqrt{36-4\times 9\times 9}}{2\times 9}$$

Înmulțiți -4 cu 9.

$$x=\frac{-6±\sqrt{36-36\times 9}}{2\times 9}$$

Înmulțiți -36 cu 9.

$$x=\frac{-6±\sqrt{36-324}}{2\times 9}$$

Adunați 36 cu -324.

$$x=\frac{-6±\sqrt{-288}}{2\times 9}$$

Aflați rădăcina pătrată pentru -288.

$$x=\frac{-6±12\sqrt{2}i}{2\times 9}$$

Înmulțiți 2 cu 9.

$$x=\frac{-6±12\sqrt{2}i}{18}$$

Acum rezolvați ecuația x=\frac{-6±12\sqrt{2}i}{18} atunci când ± este plus. Adunați -6 cu 12i\sqrt{2}.

$$x=\frac{-6+12\sqrt{2}i}{18}$$

Împărțiți -6+12i\sqrt{2} la 18.

$$x=\frac{-1+2\sqrt{2}i}{3}$$

Acum rezolvați ecuația x=\frac{-6±12\sqrt{2}i}{18} atunci când ± este minus. Scădeți 12i\sqrt{2} din -6.

$$x=\frac{-12\sqrt{2}i-6}{18}$$

Împărțiți -6-12i\sqrt{2} la 18.

$$x=\frac{-2\sqrt{2}i-1}{3}$$

Ecuația este rezolvată acum.

$$x=\frac{-1+2\sqrt{2}i}{3} x=\frac{-2\sqrt{2}i-1}{3}$$

Pași pentru completarea pătratului

Ecuațiile de gradul doi ca aceasta pot fi rezolvate prin completarea pătratului. Pentru a completa pătratul, ecuația trebuie mai întâi să fie sub forma x^{2}+bx=c.

$$9x^{2}+6x+9=0$$

Scădeți 9 din ambele părți ale ecuației.

$$9x^{2}+6x+9-9=-9$$

Scăderea 9 din el însuși are ca rezultat 0.

$$9x^{2}+6x=-9$$

Se împart ambele părți la 9.

$$\frac{9x^{2}+6x}{9}=-\frac{9}{9}$$

Împărțirea la 9 anulează înmulțirea cu 9.

$$x^{2}+\frac{6}{9}x=-\frac{9}{9}$$

Reduceți fracția \frac{6}{9} la cei mai mici termeni, prin extragerea și reducerea 3.

$$x^{2}+\frac{2}{3}x=-\frac{9}{9}$$

Împărțiți -9 la 9.

$$x^{2}+\frac{2}{3}x=-1$$

Împărțiți \frac{2}{3}, coeficientul termenului x, la 2 pentru a obține \frac{1}{3}. Apoi, adunați pătratul lui \frac{1}{3} la ambele părți ale ecuației. Acest pas face din partea stângă a ecuației un pătrat perfect.

$$x^{2}+\frac{2}{3}x+\left(\frac{1}{3}\right)^{2}=-1+\left(\frac{1}{3}\right)^{2}$$

Ridicați \frac{1}{3} la pătrat, calculând pătratul pentru numărătorul și numitorul fracției.

$$x^{2}+\frac{2}{3}x+\frac{1}{9}=-1+\frac{1}{9}$$

Adunați -1 cu \frac{1}{9}.

$$x^{2}+\frac{2}{3}x+\frac{1}{9}=-\frac{8}{9}$$

Factor x^{2}+\frac{2}{3}x+\frac{1}{9}. În general, atunci când x^{2}+bx+c este un pătrat perfect, el poate fi descompus în factori oricând ca \left(x+\frac{b}{2}\right)^{2}.

$$\left(x+\frac{1}{3}\right)^{2}=-\frac{8}{9}$$

Aflați rădăcina pătrată pentru ambele părți ale ecuației.

$$\sqrt{\left(x+\frac{1}{3}\right)^{2}}=\sqrt{-\frac{8}{9}}$$

Simplificați.

$$x+\frac{1}{3}=\frac{2\sqrt{2}i}{3} x+\frac{1}{3}=-\frac{2\sqrt{2}i}{3}$$

Scădeți \frac{1}{3} din ambele părți ale ecuației.

$$x=\frac{-1+2\sqrt{2}i}{3} x=\frac{-2\sqrt{2}i-1}{3}$$