Rezolvați 9x^2+39x+42=

$$9 x ^ { 2 } + 39 x + 42 =$$

Descompunere în factori

$$3\left(x+2\right)\left(3x+7\right)$$

Pașii soluției

Scoateți factorul comun 3.

$$3\left(3x^{2}+13x+14\right)$$

Să luăm 3x^{2}+13x+14. Descompuneți expresia în factori prin grupare. Mai întâi, expresia trebuie să fie rescrisă ca 3x^{2}+ax+bx+14. Pentru a găsi a și b, configurați un sistem pentru a fi rezolvat.

$$a+b=13 ab=3\times 14=42$$

Deoarece ab este pozitiv, a și b au același semn. Deoarece a+b este pozitiv, a și b sunt ambele pozitive. Listează toate perechi de valori întregi care oferă produse 42.

$$1,42 2,21 3,14 6,7$$

Calculați suma pentru fiecare pereche.

$$1+42=43 2+21=23 3+14=17 6+7=13$$

Soluția este perechea care dă suma de 13.

$$a=6 b=7$$

Rescrieți 3x^{2}+13x+14 ca \left(3x^{2}+6x\right)+\left(7x+14\right).

$$\left(3x^{2}+6x\right)+\left(7x+14\right)$$

Factor 3x în primul și 7 în al doilea grup.

$$3x\left(x+2\right)+7\left(x+2\right)$$

Scoateți termenul comun x+2 prin utilizarea proprietății de distributivitate.

$$\left(x+2\right)\left(3x+7\right)$$

Rescrieți expresia completă descompusă în factori.

$$3\left(x+2\right)\left(3x+7\right)$$

Pași folosind formula rădăcinilor ecuației de gradul al doilea

Polinomul de gradul doi se poate descompune în factori folosind transformarea ax^{2}+bx+c=a\left(x-x_{1}\right)\left(x-x_{2}\right), unde x_{1} și x_{2} sunt soluțiile ecuației de gradul doi ax^{2}+bx+c=0.

$$9x^{2}+39x+42=0$$

Toate ecuațiile de forma ax^{2}+bx+c=0 pot fi rezolvate utilizând formula rădăcinilor ecuației de gradul al doilea: \frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a}. Formula rădăcinilor ecuației de gradul al doilea oferă două soluții, una atunci când operația ± este de adunare și una atunci când este de scădere.

$$x=\frac{-39±\sqrt{39^{2}-4\times 9\times 42}}{2\times 9}$$

Ridicați 39 la pătrat.

$$x=\frac{-39±\sqrt{1521-4\times 9\times 42}}{2\times 9}$$

Înmulțiți -4 cu 9.

$$x=\frac{-39±\sqrt{1521-36\times 42}}{2\times 9}$$

Înmulțiți -36 cu 42.

$$x=\frac{-39±\sqrt{1521-1512}}{2\times 9}$$

Adunați 1521 cu -1512.

$$x=\frac{-39±\sqrt{9}}{2\times 9}$$

Aflați rădăcina pătrată pentru 9.

$$x=\frac{-39±3}{2\times 9}$$

Înmulțiți 2 cu 9.

$$x=\frac{-39±3}{18}$$

Acum rezolvați ecuația x=\frac{-39±3}{18} atunci când ± este plus. Adunați -39 cu 3.

$$x=-\frac{36}{18}$$

Împărțiți -36 la 18.

$$x=-2$$

Acum rezolvați ecuația x=\frac{-39±3}{18} atunci când ± este minus. Scădeți 3 din -39.

$$x=-\frac{42}{18}$$

Reduceți fracția \frac{-42}{18} la cei mai mici termeni, prin extragerea și reducerea 6.

$$x=-\frac{7}{3}$$

Descompuneți în factori expresia inițială utilizând ax^{2}+bx+c=a\left(x-x_{1}\right)\left(x-x_{2}\right). Înlocuiți x_{1} cu -2 și x_{2} cu -\frac{7}{3}.

$$9x^{2}+39x+42=9\left(x-\left(-2\right)\right)\left(x-\left(-\frac{7}{3}\right)\right)$$

Simplificați toate expresiile formei p-\left(-q\right) la p+q.

$$9x^{2}+39x+42=9\left(x+2\right)\left(x+\frac{7}{3}\right)$$

Adunați \frac{7}{3} cu x găsind un numitor comun și adunând numărătorii. Apoi simplificați fracția până devine ireductibilă, dacă este posibil.

$$9x^{2}+39x+42=9\left(x+2\right)\times \frac{3x+7}{3}$$

Simplificați cu 3, cel mai mare factor comun din 9 și 3.

$$9x^{2}+39x+42=3\left(x+2\right)\left(3x+7\right)$$

Evaluați

$$3\left(x+2\right)\left(3x+7\right)$$