Rezolvați 9x^2+2x-1=0

$$9 x ^ { 2 } + 2 x - 1 = 0$$

Rezolvați pentru x

$$x=\frac{\sqrt{10}-1}{9}\approx 0,240253073$$

$$x=\frac{-\sqrt{10}-1}{9}\approx -0,462475296$$

Pași folosind formula rădăcinilor ecuației de gradul al doilea

Toate ecuațiile de forma ax^{2}+bx+c=0 pot fi rezolvate utilizând formula rădăcinilor ecuației de gradul al doilea: \frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a}. Formula rădăcinilor ecuației de gradul al doilea oferă două soluții, una atunci când operația ± este de adunare și una atunci când este de scădere.

$$9x^{2}+2x-1=0$$

Această ecuație este în formă standard: ax^{2}+bx+c=0. Înlocuiți a cu 9, b cu 2 și c cu -1 în formula rădăcinilor ecuațiilor de gradul al doilea, \frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a}.

$$x=\frac{-2±\sqrt{2^{2}-4\times 9\left(-1\right)}}{2\times 9}$$

Ridicați 2 la pătrat.

$$x=\frac{-2±\sqrt{4-4\times 9\left(-1\right)}}{2\times 9}$$

Înmulțiți -4 cu 9.

$$x=\frac{-2±\sqrt{4-36\left(-1\right)}}{2\times 9}$$

Înmulțiți -36 cu -1.

$$x=\frac{-2±\sqrt{4+36}}{2\times 9}$$

Adunați 4 cu 36.

$$x=\frac{-2±\sqrt{40}}{2\times 9}$$

Aflați rădăcina pătrată pentru 40.

$$x=\frac{-2±2\sqrt{10}}{2\times 9}$$

Înmulțiți 2 cu 9.

$$x=\frac{-2±2\sqrt{10}}{18}$$

Acum rezolvați ecuația x=\frac{-2±2\sqrt{10}}{18} atunci când ± este plus. Adunați -2 cu 2\sqrt{10}.

$$x=\frac{2\sqrt{10}-2}{18}$$

Împărțiți -2+2\sqrt{10} la 18.

$$x=\frac{\sqrt{10}-1}{9}$$

Acum rezolvați ecuația x=\frac{-2±2\sqrt{10}}{18} atunci când ± este minus. Scădeți 2\sqrt{10} din -2.

$$x=\frac{-2\sqrt{10}-2}{18}$$

Împărțiți -2-2\sqrt{10} la 18.

$$x=\frac{-\sqrt{10}-1}{9}$$

Ecuația este rezolvată acum.

$$x=\frac{\sqrt{10}-1}{9} x=\frac{-\sqrt{10}-1}{9}$$

Pași pentru completarea pătratului

Ecuațiile de gradul doi ca aceasta pot fi rezolvate prin completarea pătratului. Pentru a completa pătratul, ecuația trebuie mai întâi să fie sub forma x^{2}+bx=c.

$$9x^{2}+2x-1=0$$

Adunați 1 la ambele părți ale ecuației.

$$9x^{2}+2x-1-\left(-1\right)=-\left(-1\right)$$

Scăderea -1 din el însuși are ca rezultat 0.

$$9x^{2}+2x=-\left(-1\right)$$

Scădeți -1 din 0.

$$9x^{2}+2x=1$$

Se împart ambele părți la 9.

$$\frac{9x^{2}+2x}{9}=\frac{1}{9}$$

Împărțirea la 9 anulează înmulțirea cu 9.

$$x^{2}+\frac{2}{9}x=\frac{1}{9}$$

Împărțiți \frac{2}{9}, coeficientul termenului x, la 2 pentru a obține \frac{1}{9}. Apoi, adunați pătratul lui \frac{1}{9} la ambele părți ale ecuației. Acest pas face din partea stângă a ecuației un pătrat perfect.

$$x^{2}+\frac{2}{9}x+\left(\frac{1}{9}\right)^{2}=\frac{1}{9}+\left(\frac{1}{9}\right)^{2}$$

Ridicați \frac{1}{9} la pătrat, calculând pătratul pentru numărătorul și numitorul fracției.

$$x^{2}+\frac{2}{9}x+\frac{1}{81}=\frac{1}{9}+\frac{1}{81}$$

Adunați \frac{1}{9} cu \frac{1}{81} găsind un numitor comun și adunând numărătorii. Apoi simplificați fracția până devine ireductibilă, dacă este posibil.

$$x^{2}+\frac{2}{9}x+\frac{1}{81}=\frac{10}{81}$$

Factor x^{2}+\frac{2}{9}x+\frac{1}{81}. În general, atunci când x^{2}+bx+c este un pătrat perfect, el poate fi descompus în factori oricând ca \left(x+\frac{b}{2}\right)^{2}.

$$\left(x+\frac{1}{9}\right)^{2}=\frac{10}{81}$$

Aflați rădăcina pătrată pentru ambele părți ale ecuației.

$$\sqrt{\left(x+\frac{1}{9}\right)^{2}}=\sqrt{\frac{10}{81}}$$

Simplificați.

$$x+\frac{1}{9}=\frac{\sqrt{10}}{9} x+\frac{1}{9}=-\frac{\sqrt{10}}{9}$$

Scădeți \frac{1}{9} din ambele părți ale ecuației.

$$x=\frac{\sqrt{10}-1}{9} x=\frac{-\sqrt{10}-1}{9}$$