Rezolvați 9t^2+6t+1=0

$$9 t ^ { 2 } + 6 t + 1 = 0$$

Rezolvați pentru t

$$t=-\frac{1}{3}\approx -0,333333333$$

Pași utilizând descompunerea în factori prin grupare

Pentru a rezolva ecuația, factor mâna stângă după grupare. Mai întâi, fața la stânga trebuie să fie rescrisă ca 9t^{2}+at+bt+1. Pentru a găsi a și b, configurați un sistem pentru a fi rezolvat.

$$a+b=6 ab=9\times 1=9$$

Deoarece ab este pozitiv, a și b au același semn. Deoarece a+b este pozitiv, a și b sunt ambele pozitive. Listează toate perechi de valori întregi care oferă produse 9.

$$1,9 3,3$$

Calculați suma pentru fiecare pereche.

$$1+9=10 3+3=6$$

Soluția este perechea care dă suma de 6.

$$a=3 b=3$$

Rescrieți 9t^{2}+6t+1 ca \left(9t^{2}+3t\right)+\left(3t+1\right).

$$\left(9t^{2}+3t\right)+\left(3t+1\right)$$

Scoateți factorul comun 3t din 9t^{2}+3t.

$$3t\left(3t+1\right)+3t+1$$

Scoateți termenul comun 3t+1 prin utilizarea proprietății de distributivitate.

$$\left(3t+1\right)\left(3t+1\right)$$

Rescrieți ca binom pătrat.

$$\left(3t+1\right)^{2}$$

Pentru a găsi soluția ecuației, rezolvați 3t+1=0.

$$t=-\frac{1}{3}$$

Pași folosind formula rădăcinilor ecuației de gradul al doilea

Toate ecuațiile de forma ax^{2}+bx+c=0 pot fi rezolvate utilizând formula rădăcinilor ecuației de gradul al doilea: \frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a}. Formula rădăcinilor ecuației de gradul al doilea oferă două soluții, una atunci când operația ± este de adunare și una atunci când este de scădere.

$$9t^{2}+6t+1=0$$

Această ecuație este în formă standard: ax^{2}+bx+c=0. Înlocuiți a cu 9, b cu 6 și c cu 1 în formula rădăcinilor ecuațiilor de gradul al doilea, \frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a}.

$$t=\frac{-6±\sqrt{6^{2}-4\times 9}}{2\times 9}$$

Ridicați 6 la pătrat.

$$t=\frac{-6±\sqrt{36-4\times 9}}{2\times 9}$$

Înmulțiți -4 cu 9.

$$t=\frac{-6±\sqrt{36-36}}{2\times 9}$$

Adunați 36 cu -36.

$$t=\frac{-6±\sqrt{0}}{2\times 9}$$

Aflați rădăcina pătrată pentru 0.

$$t=-\frac{6}{2\times 9}$$

Înmulțiți 2 cu 9.

$$t=-\frac{6}{18}$$

Reduceți fracția \frac{-6}{18} la cei mai mici termeni, prin extragerea și reducerea 6.

$$t=-\frac{1}{3}$$

Pași pentru completarea pătratului

Ecuațiile de gradul doi ca aceasta pot fi rezolvate prin completarea pătratului. Pentru a completa pătratul, ecuația trebuie mai întâi să fie sub forma x^{2}+bx=c.

$$9t^{2}+6t+1=0$$

Scădeți 1 din ambele părți ale ecuației.

$$9t^{2}+6t+1-1=-1$$

Scăderea 1 din el însuși are ca rezultat 0.

$$9t^{2}+6t=-1$$

Se împart ambele părți la 9.

$$\frac{9t^{2}+6t}{9}=-\frac{1}{9}$$

Împărțirea la 9 anulează înmulțirea cu 9.

$$t^{2}+\frac{6}{9}t=-\frac{1}{9}$$

Reduceți fracția \frac{6}{9} la cei mai mici termeni, prin extragerea și reducerea 3.

$$t^{2}+\frac{2}{3}t=-\frac{1}{9}$$

Împărțiți \frac{2}{3}, coeficientul termenului x, la 2 pentru a obține \frac{1}{3}. Apoi, adunați pătratul lui \frac{1}{3} la ambele părți ale ecuației. Acest pas face din partea stângă a ecuației un pătrat perfect.

$$t^{2}+\frac{2}{3}t+\left(\frac{1}{3}\right)^{2}=-\frac{1}{9}+\left(\frac{1}{3}\right)^{2}$$

Ridicați \frac{1}{3} la pătrat, calculând pătratul pentru numărătorul și numitorul fracției.

$$t^{2}+\frac{2}{3}t+\frac{1}{9}=\frac{-1+1}{9}$$

Adunați -\frac{1}{9} cu \frac{1}{9} găsind un numitor comun și adunând numărătorii. Apoi simplificați fracția până devine ireductibilă, dacă este posibil.

$$t^{2}+\frac{2}{3}t+\frac{1}{9}=0$$

Factor t^{2}+\frac{2}{3}t+\frac{1}{9}. În general, atunci când x^{2}+bx+c este un pătrat perfect, el poate fi descompus în factori oricând ca \left(x+\frac{b}{2}\right)^{2}.

$$\left(t+\frac{1}{3}\right)^{2}=0$$

Aflați rădăcina pătrată pentru ambele părți ale ecuației.

$$\sqrt{\left(t+\frac{1}{3}\right)^{2}}=\sqrt{0}$$

Simplificați.

$$t+\frac{1}{3}=0 t+\frac{1}{3}=0$$

Scădeți \frac{1}{3} din ambele părți ale ecuației.

$$t=-\frac{1}{3} t=-\frac{1}{3}$$

Ecuația este rezolvată acum. Soluțiile sunt la fel.

$$t=-\frac{1}{3}$$