Rezolvați 9q^2-7q+1=0

$$9 q ^ { 2 } - 7 q + 1 = 0$$

Rezolvați pentru q

$$q=\frac{\sqrt{13}+7}{18}\approx 0,589197293$$

$$q=\frac{7-\sqrt{13}}{18}\approx 0,188580485$$

Pași folosind formula rădăcinilor ecuației de gradul al doilea

Toate ecuațiile de forma ax^{2}+bx+c=0 pot fi rezolvate utilizând formula rădăcinilor ecuației de gradul al doilea: \frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a}. Formula rădăcinilor ecuației de gradul al doilea oferă două soluții, una atunci când operația ± este de adunare și una atunci când este de scădere.

$$9q^{2}-7q+1=0$$

Această ecuație este în formă standard: ax^{2}+bx+c=0. Înlocuiți a cu 9, b cu -7 și c cu 1 în formula rădăcinilor ecuațiilor de gradul al doilea, \frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a}.

$$q=\frac{-\left(-7\right)±\sqrt{\left(-7\right)^{2}-4\times 9}}{2\times 9}$$

Ridicați -7 la pătrat.

$$q=\frac{-\left(-7\right)±\sqrt{49-4\times 9}}{2\times 9}$$

Înmulțiți -4 cu 9.

$$q=\frac{-\left(-7\right)±\sqrt{49-36}}{2\times 9}$$

Adunați 49 cu -36.

$$q=\frac{-\left(-7\right)±\sqrt{13}}{2\times 9}$$

Opusul lui -7 este 7.

$$q=\frac{7±\sqrt{13}}{2\times 9}$$

Înmulțiți 2 cu 9.

$$q=\frac{7±\sqrt{13}}{18}$$

Acum rezolvați ecuația q=\frac{7±\sqrt{13}}{18} atunci când ± este plus. Adunați 7 cu \sqrt{13}.

$$q=\frac{\sqrt{13}+7}{18}$$

Acum rezolvați ecuația q=\frac{7±\sqrt{13}}{18} atunci când ± este minus. Scădeți \sqrt{13} din 7.

$$q=\frac{7-\sqrt{13}}{18}$$

Ecuația este rezolvată acum.

$$q=\frac{\sqrt{13}+7}{18} q=\frac{7-\sqrt{13}}{18}$$

Pași pentru completarea pătratului

Ecuațiile de gradul doi ca aceasta pot fi rezolvate prin completarea pătratului. Pentru a completa pătratul, ecuația trebuie mai întâi să fie sub forma x^{2}+bx=c.

$$9q^{2}-7q+1=0$$

Scădeți 1 din ambele părți ale ecuației.

$$9q^{2}-7q+1-1=-1$$

Scăderea 1 din el însuși are ca rezultat 0.

$$9q^{2}-7q=-1$$

Se împart ambele părți la 9.

$$\frac{9q^{2}-7q}{9}=-\frac{1}{9}$$

Împărțirea la 9 anulează înmulțirea cu 9.

$$q^{2}-\frac{7}{9}q=-\frac{1}{9}$$

Împărțiți -\frac{7}{9}, coeficientul termenului x, la 2 pentru a obține -\frac{7}{18}. Apoi, adunați pătratul lui -\frac{7}{18} la ambele părți ale ecuației. Acest pas face din partea stângă a ecuației un pătrat perfect.

$$q^{2}-\frac{7}{9}q+\left(-\frac{7}{18}\right)^{2}=-\frac{1}{9}+\left(-\frac{7}{18}\right)^{2}$$

Ridicați -\frac{7}{18} la pătrat, calculând pătratul pentru numărătorul și numitorul fracției.

$$q^{2}-\frac{7}{9}q+\frac{49}{324}=-\frac{1}{9}+\frac{49}{324}$$

Adunați -\frac{1}{9} cu \frac{49}{324} găsind un numitor comun și adunând numărătorii. Apoi simplificați fracția până devine ireductibilă, dacă este posibil.

$$q^{2}-\frac{7}{9}q+\frac{49}{324}=\frac{13}{324}$$

Factor q^{2}-\frac{7}{9}q+\frac{49}{324}. În general, atunci când x^{2}+bx+c este un pătrat perfect, el poate fi descompus în factori oricând ca \left(x+\frac{b}{2}\right)^{2}.

$$\left(q-\frac{7}{18}\right)^{2}=\frac{13}{324}$$

Aflați rădăcina pătrată pentru ambele părți ale ecuației.

$$\sqrt{\left(q-\frac{7}{18}\right)^{2}}=\sqrt{\frac{13}{324}}$$

Simplificați.

$$q-\frac{7}{18}=\frac{\sqrt{13}}{18} q-\frac{7}{18}=-\frac{\sqrt{13}}{18}$$

Adunați \frac{7}{18} la ambele părți ale ecuației.

$$q=\frac{\sqrt{13}+7}{18} q=\frac{7-\sqrt{13}}{18}$$