Rezolvați 9p^2+59p+30

$$9 p ^ { 2 } + 59 p + 30$$

Descompunere în factori

$$\left(p+6\right)\left(9p+5\right)$$

Pașii soluției

Descompuneți expresia în factori prin grupare. Mai întâi, expresia trebuie să fie rescrisă ca 9p^{2}+ap+bp+30. Pentru a găsi a și b, configurați un sistem pentru a fi rezolvat.

$$a+b=59 ab=9\times 30=270$$

Deoarece ab este pozitiv, a și b au același semn. Deoarece a+b este pozitiv, a și b sunt ambele pozitive. Listează toate perechi de valori întregi care oferă produse 270.

$$1,270 2,135 3,90 5,54 6,45 9,30 10,27 15,18$$

Calculați suma pentru fiecare pereche.

$$1+270=271 2+135=137 3+90=93 5+54=59 6+45=51 9+30=39 10+27=37 15+18=33$$

Soluția este perechea care dă suma de 59.

$$a=5 b=54$$

Rescrieți 9p^{2}+59p+30 ca \left(9p^{2}+5p\right)+\left(54p+30\right).

$$\left(9p^{2}+5p\right)+\left(54p+30\right)$$

Factor p în primul și 6 în al doilea grup.

$$p\left(9p+5\right)+6\left(9p+5\right)$$

Scoateți termenul comun 9p+5 prin utilizarea proprietății de distributivitate.

$$\left(9p+5\right)\left(p+6\right)$$

Pași folosind formula rădăcinilor ecuației de gradul al doilea

Polinomul de gradul doi se poate descompune în factori folosind transformarea ax^{2}+bx+c=a\left(x-x_{1}\right)\left(x-x_{2}\right), unde x_{1} și x_{2} sunt soluțiile ecuației de gradul doi ax^{2}+bx+c=0.

$$9p^{2}+59p+30=0$$

Toate ecuațiile de forma ax^{2}+bx+c=0 pot fi rezolvate utilizând formula rădăcinilor ecuației de gradul al doilea: \frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a}. Formula rădăcinilor ecuației de gradul al doilea oferă două soluții, una atunci când operația ± este de adunare și una atunci când este de scădere.

$$p=\frac{-59±\sqrt{59^{2}-4\times 9\times 30}}{2\times 9}$$

Ridicați 59 la pătrat.

$$p=\frac{-59±\sqrt{3481-4\times 9\times 30}}{2\times 9}$$

Înmulțiți -4 cu 9.

$$p=\frac{-59±\sqrt{3481-36\times 30}}{2\times 9}$$

Înmulțiți -36 cu 30.

$$p=\frac{-59±\sqrt{3481-1080}}{2\times 9}$$

Adunați 3481 cu -1080.

$$p=\frac{-59±\sqrt{2401}}{2\times 9}$$

Aflați rădăcina pătrată pentru 2401.

$$p=\frac{-59±49}{2\times 9}$$

Înmulțiți 2 cu 9.

$$p=\frac{-59±49}{18}$$

Acum rezolvați ecuația p=\frac{-59±49}{18} atunci când ± este plus. Adunați -59 cu 49.

$$p=-\frac{10}{18}$$

Reduceți fracția \frac{-10}{18} la cei mai mici termeni, prin extragerea și reducerea 2.

$$p=-\frac{5}{9}$$

Acum rezolvați ecuația p=\frac{-59±49}{18} atunci când ± este minus. Scădeți 49 din -59.

$$p=-\frac{108}{18}$$

Împărțiți -108 la 18.

$$p=-6$$

Descompuneți în factori expresia inițială utilizând ax^{2}+bx+c=a\left(x-x_{1}\right)\left(x-x_{2}\right). Înlocuiți x_{1} cu -\frac{5}{9} și x_{2} cu -6.

$$9p^{2}+59p+30=9\left(p-\left(-\frac{5}{9}\right)\right)\left(p-\left(-6\right)\right)$$

Simplificați toate expresiile formei p-\left(-q\right) la p+q.

$$9p^{2}+59p+30=9\left(p+\frac{5}{9}\right)\left(p+6\right)$$

Adunați \frac{5}{9} cu p găsind un numitor comun și adunând numărătorii. Apoi simplificați fracția până devine ireductibilă, dacă este posibil.

$$9p^{2}+59p+30=9\times \frac{9p+5}{9}\left(p+6\right)$$

Simplificați cu 9, cel mai mare factor comun din 9 și 9.

$$9p^{2}+59p+30=\left(9p+5\right)\left(p+6\right)$$

Evaluați

$$\left(p+6\right)\left(9p+5\right)$$