Rezolvați 9n^2-23n+20=3n^2

$$9 n ^ { 2 } - 23 n + 20 = 3 n ^ { 2 }$$

Rezolvați pentru n

$$n = \frac{4}{3} = 1\frac{1}{3} \approx 1,333333333$$

$$n = \frac{5}{2} = 2\frac{1}{2} = 2,5$$

Pași utilizând descompunerea în factori prin grupare

Scădeți 3n^{2} din ambele părți.

$$9n^{2}-23n+20-3n^{2}=0$$

Combinați 9n^{2} cu -3n^{2} pentru a obține 6n^{2}.

$$6n^{2}-23n+20=0$$

Pentru a rezolva ecuația, descompuneți în factori partea stângă prin grupare. În primul rând, partea stângă trebuie să fie rescrisă ca 6n^{2}+an+bn+20. Pentru a găsi a și b, configurați un sistem care să fie rezolvat.

$$a+b=-23 ab=6\times 20=120$$

Deoarece ab este pozitiv, a și b au același semn. Deoarece a+b este negativ, a și b sunt ambele negative. Enumerați toate perechile întregi care oferă 120 de produs.

$$-1,-120 -2,-60 -3,-40 -4,-30 -5,-24 -6,-20 -8,-15 -10,-12$$

Calculați suma pentru fiecare pereche.

$$-1-120=-121 -2-60=-62 -3-40=-43 -4-30=-34 -5-24=-29 -6-20=-26 -8-15=-23 -10-12=-22$$

Soluția este perechea care dă suma de -23.

$$a=-15 b=-8$$

Rescrieți 6n^{2}-23n+20 ca \left(6n^{2}-15n\right)+\left(-8n+20\right).

$$\left(6n^{2}-15n\right)+\left(-8n+20\right)$$

Scoateți scoateți factorul 3n din primul și -4 din cel de-al doilea grup.

$$3n\left(2n-5\right)-4\left(2n-5\right)$$

Scoateți termenul comun 2n-5 prin utilizarea proprietății de distributivitate.

$$\left(2n-5\right)\left(3n-4\right)$$

Pentru a găsi soluții de ecuație, rezolvați 2n-5=0 și 3n-4=0.

$$n=\frac{5}{2} n=\frac{4}{3}$$

Pași folosind formula rădăcinilor ecuației de gradul al doilea

Scădeți 3n^{2} din ambele părți.

$$9n^{2}-23n+20-3n^{2}=0$$

Combinați 9n^{2} cu -3n^{2} pentru a obține 6n^{2}.

$$6n^{2}-23n+20=0$$

Această ecuație este în formă standard: ax^{2}+bx+c=0. Înlocuiți a cu 6, b cu -23 și c cu 20 în formula rădăcinilor ecuațiilor de gradul al doilea, \frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a}.

$$n=\frac{-\left(-23\right)±\sqrt{\left(-23\right)^{2}-4\times 6\times 20}}{2\times 6}$$

Ridicați -23 la pătrat.

$$n=\frac{-\left(-23\right)±\sqrt{529-4\times 6\times 20}}{2\times 6}$$

Înmulțiți -4 cu 6.

$$n=\frac{-\left(-23\right)±\sqrt{529-24\times 20}}{2\times 6}$$

Înmulțiți -24 cu 20.

$$n=\frac{-\left(-23\right)±\sqrt{529-480}}{2\times 6}$$

Adunați 529 cu -480.

$$n=\frac{-\left(-23\right)±\sqrt{49}}{2\times 6}$$

Aflați rădăcina pătrată pentru 49.

$$n=\frac{-\left(-23\right)±7}{2\times 6}$$

Opusul lui -23 este 23.

$$n=\frac{23±7}{2\times 6}$$

Înmulțiți 2 cu 6.

$$n=\frac{23±7}{12}$$

Acum rezolvați ecuația n=\frac{23±7}{12} atunci când ± este plus. Adunați 23 cu 7.

$$n=\frac{30}{12}$$

Reduceți fracția \frac{30}{12} la cei mai mici termeni, prin extragerea și reducerea 6.

$$n=\frac{5}{2}$$

Acum rezolvați ecuația n=\frac{23±7}{12} atunci când ± este minus. Scădeți 7 din 23.

$$n=\frac{16}{12}$$

Reduceți fracția \frac{16}{12} la cei mai mici termeni, prin extragerea și reducerea 4.

$$n=\frac{4}{3}$$

Ecuația este rezolvată acum.

$$n=\frac{5}{2} n=\frac{4}{3}$$

Pași pentru completarea pătratului

Scădeți 3n^{2} din ambele părți.

$$9n^{2}-23n+20-3n^{2}=0$$

Combinați 9n^{2} cu -3n^{2} pentru a obține 6n^{2}.

$$6n^{2}-23n+20=0$$

Scădeți 20 din ambele părți. Orice se scade din zero dă negativul său.

$$6n^{2}-23n=-20$$

Se împart ambele părți la 6.

$$\frac{6n^{2}-23n}{6}=-\frac{20}{6}$$

Împărțirea la 6 anulează înmulțirea cu 6.

$$n^{2}-\frac{23}{6}n=-\frac{20}{6}$$

Reduceți fracția \frac{-20}{6} la cei mai mici termeni, prin extragerea și reducerea 2.

$$n^{2}-\frac{23}{6}n=-\frac{10}{3}$$

Împărțiți -\frac{23}{6}, coeficientul termenului x, la 2 pentru a obține -\frac{23}{12}. Apoi, adunați pătratul lui -\frac{23}{12} la ambele părți ale ecuației. Acest pas face din partea stângă a ecuației un pătrat perfect.

$$n^{2}-\frac{23}{6}n+\left(-\frac{23}{12}\right)^{2}=-\frac{10}{3}+\left(-\frac{23}{12}\right)^{2}$$

Ridicați -\frac{23}{12} la pătrat, calculând pătratul pentru numărătorul și numitorul fracției.

$$n^{2}-\frac{23}{6}n+\frac{529}{144}=-\frac{10}{3}+\frac{529}{144}$$

Adunați -\frac{10}{3} cu \frac{529}{144} găsind un numitor comun și adunând numărătorii. Apoi simplificați fracția până devine ireductibilă, dacă este posibil.

$$n^{2}-\frac{23}{6}n+\frac{529}{144}=\frac{49}{144}$$

Factorul n^{2}-\frac{23}{6}n+\frac{529}{144}. În general, când x^{2}+bx+c este un pătrat perfect, acesta poate fi descompus întotdeauna în factori ca \left(x+\frac{b}{2}\right)^{2}.

$$\left(n-\frac{23}{12}\right)^{2}=\frac{49}{144}$$

Aflați rădăcina pătrată pentru ambele părți ale ecuației.

$$\sqrt{\left(n-\frac{23}{12}\right)^{2}}=\sqrt{\frac{49}{144}}$$

Simplificați.

$$n-\frac{23}{12}=\frac{7}{12} n-\frac{23}{12}=-\frac{7}{12}$$

Adunați \frac{23}{12} la ambele părți ale ecuației.

$$n=\frac{5}{2} n=\frac{4}{3}$$