Rezolvați 9b^2-13b+9=0

$$9 b ^ { 2 } - 13 b + 9 = 0$$

Rezolvați pentru b

$$b=\frac{13+\sqrt{155}i}{18}\approx 0,722222222+0,691661089i$$

$$b=\frac{-\sqrt{155}i+13}{18}\approx 0,722222222-0,691661089i$$

Pași folosind formula rădăcinilor ecuației de gradul al doilea

Toate ecuațiile de forma ax^{2}+bx+c=0 pot fi rezolvate utilizând formula rădăcinilor ecuației de gradul al doilea: \frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a}. Formula rădăcinilor ecuației de gradul al doilea oferă două soluții, una atunci când operația ± este de adunare și una atunci când este de scădere.

$$9b^{2}-13b+9=0$$

Această ecuație este în formă standard: ax^{2}+bx+c=0. Înlocuiți a cu 9, b cu -13 și c cu 9 în formula rădăcinilor ecuațiilor de gradul al doilea, \frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a}.

$$b=\frac{-\left(-13\right)±\sqrt{\left(-13\right)^{2}-4\times 9\times 9}}{2\times 9}$$

Ridicați -13 la pătrat.

$$b=\frac{-\left(-13\right)±\sqrt{169-4\times 9\times 9}}{2\times 9}$$

Înmulțiți -4 cu 9.

$$b=\frac{-\left(-13\right)±\sqrt{169-36\times 9}}{2\times 9}$$

Înmulțiți -36 cu 9.

$$b=\frac{-\left(-13\right)±\sqrt{169-324}}{2\times 9}$$

Adunați 169 cu -324.

$$b=\frac{-\left(-13\right)±\sqrt{-155}}{2\times 9}$$

Aflați rădăcina pătrată pentru -155.

$$b=\frac{-\left(-13\right)±\sqrt{155}i}{2\times 9}$$

Opusul lui -13 este 13.

$$b=\frac{13±\sqrt{155}i}{2\times 9}$$

Înmulțiți 2 cu 9.

$$b=\frac{13±\sqrt{155}i}{18}$$

Acum rezolvați ecuația b=\frac{13±\sqrt{155}i}{18} atunci când ± este plus. Adunați 13 cu i\sqrt{155}.

$$b=\frac{13+\sqrt{155}i}{18}$$

Acum rezolvați ecuația b=\frac{13±\sqrt{155}i}{18} atunci când ± este minus. Scădeți i\sqrt{155} din 13.

$$b=\frac{-\sqrt{155}i+13}{18}$$

Ecuația este rezolvată acum.

$$b=\frac{13+\sqrt{155}i}{18} b=\frac{-\sqrt{155}i+13}{18}$$

Pași pentru completarea pătratului

Ecuațiile de gradul doi ca aceasta pot fi rezolvate prin completarea pătratului. Pentru a completa pătratul, ecuația trebuie mai întâi să fie sub forma x^{2}+bx=c.

$$9b^{2}-13b+9=0$$

Scădeți 9 din ambele părți ale ecuației.

$$9b^{2}-13b+9-9=-9$$

Scăderea 9 din el însuși are ca rezultat 0.

$$9b^{2}-13b=-9$$

Se împart ambele părți la 9.

$$\frac{9b^{2}-13b}{9}=-\frac{9}{9}$$

Împărțirea la 9 anulează înmulțirea cu 9.

$$b^{2}-\frac{13}{9}b=-\frac{9}{9}$$

Împărțiți -9 la 9.

$$b^{2}-\frac{13}{9}b=-1$$

Împărțiți -\frac{13}{9}, coeficientul termenului x, la 2 pentru a obține -\frac{13}{18}. Apoi, adunați pătratul lui -\frac{13}{18} la ambele părți ale ecuației. Acest pas face din partea stângă a ecuației un pătrat perfect.

$$b^{2}-\frac{13}{9}b+\left(-\frac{13}{18}\right)^{2}=-1+\left(-\frac{13}{18}\right)^{2}$$

Ridicați -\frac{13}{18} la pătrat, calculând pătratul pentru numărătorul și numitorul fracției.

$$b^{2}-\frac{13}{9}b+\frac{169}{324}=-1+\frac{169}{324}$$

Adunați -1 cu \frac{169}{324}.

$$b^{2}-\frac{13}{9}b+\frac{169}{324}=-\frac{155}{324}$$

Factor b^{2}-\frac{13}{9}b+\frac{169}{324}. În general, atunci când x^{2}+bx+c este un pătrat perfect, el poate fi descompus în factori oricând ca \left(x+\frac{b}{2}\right)^{2}.

$$\left(b-\frac{13}{18}\right)^{2}=-\frac{155}{324}$$

Aflați rădăcina pătrată pentru ambele părți ale ecuației.

$$\sqrt{\left(b-\frac{13}{18}\right)^{2}}=\sqrt{-\frac{155}{324}}$$

Simplificați.

$$b-\frac{13}{18}=\frac{\sqrt{155}i}{18} b-\frac{13}{18}=-\frac{\sqrt{155}i}{18}$$

Adunați \frac{13}{18} la ambele părți ale ecuației.

$$b=\frac{13+\sqrt{155}i}{18} b=\frac{-\sqrt{155}i+13}{18}$$