Rezolvați 9a^2-10a+4=0

$$9 a ^ { 2 } - 10 a + 4 = 0$$

Rezolvați pentru a

$$a=\frac{5+\sqrt{11}i}{9}\approx 0,555555556+0,368513866i$$

$$a=\frac{-\sqrt{11}i+5}{9}\approx 0,555555556-0,368513866i$$

Pași folosind formula rădăcinilor ecuației de gradul al doilea

Toate ecuațiile de forma ax^{2}+bx+c=0 pot fi rezolvate utilizând formula rădăcinilor ecuației de gradul al doilea: \frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a}. Formula rădăcinilor ecuației de gradul al doilea oferă două soluții, una atunci când operația ± este de adunare și una atunci când este de scădere.

$$9a^{2}-10a+4=0$$

Această ecuație este în formă standard: ax^{2}+bx+c=0. Înlocuiți a cu 9, b cu -10 și c cu 4 în formula rădăcinilor ecuațiilor de gradul al doilea, \frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a}.

$$a=\frac{-\left(-10\right)±\sqrt{\left(-10\right)^{2}-4\times 9\times 4}}{2\times 9}$$

Ridicați -10 la pătrat.

$$a=\frac{-\left(-10\right)±\sqrt{100-4\times 9\times 4}}{2\times 9}$$

Înmulțiți -4 cu 9.

$$a=\frac{-\left(-10\right)±\sqrt{100-36\times 4}}{2\times 9}$$

Înmulțiți -36 cu 4.

$$a=\frac{-\left(-10\right)±\sqrt{100-144}}{2\times 9}$$

Adunați 100 cu -144.

$$a=\frac{-\left(-10\right)±\sqrt{-44}}{2\times 9}$$

Aflați rădăcina pătrată pentru -44.

$$a=\frac{-\left(-10\right)±2\sqrt{11}i}{2\times 9}$$

Opusul lui -10 este 10.

$$a=\frac{10±2\sqrt{11}i}{2\times 9}$$

Înmulțiți 2 cu 9.

$$a=\frac{10±2\sqrt{11}i}{18}$$

Acum rezolvați ecuația a=\frac{10±2\sqrt{11}i}{18} atunci când ± este plus. Adunați 10 cu 2i\sqrt{11}.

$$a=\frac{10+2\sqrt{11}i}{18}$$

Împărțiți 10+2i\sqrt{11} la 18.

$$a=\frac{5+\sqrt{11}i}{9}$$

Acum rezolvați ecuația a=\frac{10±2\sqrt{11}i}{18} atunci când ± este minus. Scădeți 2i\sqrt{11} din 10.

$$a=\frac{-2\sqrt{11}i+10}{18}$$

Împărțiți 10-2i\sqrt{11} la 18.

$$a=\frac{-\sqrt{11}i+5}{9}$$

Ecuația este rezolvată acum.

$$a=\frac{5+\sqrt{11}i}{9} a=\frac{-\sqrt{11}i+5}{9}$$

Pași pentru completarea pătratului

Ecuațiile de gradul doi ca aceasta pot fi rezolvate prin completarea pătratului. Pentru a completa pătratul, ecuația trebuie mai întâi să fie sub forma x^{2}+bx=c.

$$9a^{2}-10a+4=0$$

Scădeți 4 din ambele părți ale ecuației.

$$9a^{2}-10a+4-4=-4$$

Scăderea 4 din el însuși are ca rezultat 0.

$$9a^{2}-10a=-4$$

Se împart ambele părți la 9.

$$\frac{9a^{2}-10a}{9}=-\frac{4}{9}$$

Împărțirea la 9 anulează înmulțirea cu 9.

$$a^{2}-\frac{10}{9}a=-\frac{4}{9}$$

Împărțiți -\frac{10}{9}, coeficientul termenului x, la 2 pentru a obține -\frac{5}{9}. Apoi, adunați pătratul lui -\frac{5}{9} la ambele părți ale ecuației. Acest pas face din partea stângă a ecuației un pătrat perfect.

$$a^{2}-\frac{10}{9}a+\left(-\frac{5}{9}\right)^{2}=-\frac{4}{9}+\left(-\frac{5}{9}\right)^{2}$$

Ridicați -\frac{5}{9} la pătrat, calculând pătratul pentru numărătorul și numitorul fracției.

$$a^{2}-\frac{10}{9}a+\frac{25}{81}=-\frac{4}{9}+\frac{25}{81}$$

Adunați -\frac{4}{9} cu \frac{25}{81} găsind un numitor comun și adunând numărătorii. Apoi simplificați fracția până devine ireductibilă, dacă este posibil.

$$a^{2}-\frac{10}{9}a+\frac{25}{81}=-\frac{11}{81}$$

Factor a^{2}-\frac{10}{9}a+\frac{25}{81}. În general, atunci când x^{2}+bx+c este un pătrat perfect, el poate fi descompus în factori oricând ca \left(x+\frac{b}{2}\right)^{2}.

$$\left(a-\frac{5}{9}\right)^{2}=-\frac{11}{81}$$

Aflați rădăcina pătrată pentru ambele părți ale ecuației.

$$\sqrt{\left(a-\frac{5}{9}\right)^{2}}=\sqrt{-\frac{11}{81}}$$

Simplificați.

$$a-\frac{5}{9}=\frac{\sqrt{11}i}{9} a-\frac{5}{9}=-\frac{\sqrt{11}i}{9}$$

Adunați \frac{5}{9} la ambele părți ale ecuației.

$$a=\frac{5+\sqrt{11}i}{9} a=\frac{-\sqrt{11}i+5}{9}$$