Rezolvați 9x^2-30x+25=0

$$9 { x }^{ 2 } -30x+25=0$$

Rezolvați pentru x

$$x = \frac{5}{3} = 1\frac{2}{3} \approx 1.666666667$$

Pași utilizând descompunerea în factori prin grupare

Pentru a rezolva ecuația, descompuneți în factori partea stângă prin grupare. În primul rând, partea stângă trebuie să fie rescrisă ca 9x^{2}+ax+bx+25. Pentru a găsi a și b, configurați un sistem care să fie rezolvat.

$$a+b=-30 ab=9\times 25=225$$

Deoarece ab este pozitiv, a și b au același semn. Deoarece a+b este negativ, a și b sunt ambele negative. Enumerați toate perechile întregi care oferă 225 de produs.

$$-1,-225 -3,-75 -5,-45 -9,-25 -15,-15$$

Calculați suma pentru fiecare pereche.

$$-1-225=-226 -3-75=-78 -5-45=-50 -9-25=-34 -15-15=-30$$

Soluția este perechea care dă suma de -30.

$$a=-15 b=-15$$

Rescrieți 9x^{2}-30x+25 ca \left(9x^{2}-15x\right)+\left(-15x+25\right).

$$\left(9x^{2}-15x\right)+\left(-15x+25\right)$$

Scoateți scoateți factorul 3x din primul și -5 din cel de-al doilea grup.

$$3x\left(3x-5\right)-5\left(3x-5\right)$$

Scoateți termenul comun 3x-5 prin utilizarea proprietății de distributivitate.

$$\left(3x-5\right)\left(3x-5\right)$$

Rescrieți ca binom pătrat.

$$\left(3x-5\right)^{2}$$

Pentru a găsi soluția ecuației, rezolvați 3x-5=0.

$$x=\frac{5}{3}$$

Pași folosind formula rădăcinilor ecuației de gradul al doilea

Toate ecuațiile de forma ax^{2}+bx+c=0 pot fi rezolvate utilizând formula rădăcinilor ecuației de gradul al doilea: \frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a}. Formula rădăcinilor ecuației de gradul al doilea oferă două soluții, una atunci când operația ± este de adunare și una atunci când este de scădere.

$$9x^{2}-30x+25=0$$

Această ecuație este în formă standard: ax^{2}+bx+c=0. Înlocuiți a cu 9, b cu -30 și c cu 25 în formula rădăcinilor ecuațiilor de gradul al doilea, \frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a}.

$$x=\frac{-\left(-30\right)±\sqrt{\left(-30\right)^{2}-4\times 9\times 25}}{2\times 9}$$

Ridicați -30 la pătrat.

$$x=\frac{-\left(-30\right)±\sqrt{900-4\times 9\times 25}}{2\times 9}$$

Înmulțiți -4 cu 9.

$$x=\frac{-\left(-30\right)±\sqrt{900-36\times 25}}{2\times 9}$$

Înmulțiți -36 cu 25.

$$x=\frac{-\left(-30\right)±\sqrt{900-900}}{2\times 9}$$

Adunați 900 cu -900.

$$x=\frac{-\left(-30\right)±\sqrt{0}}{2\times 9}$$

Aflați rădăcina pătrată pentru 0.

$$x=-\frac{-30}{2\times 9}$$

Opusul lui -30 este 30.

$$x=\frac{30}{2\times 9}$$

Înmulțiți 2 cu 9.

$$x=\frac{30}{18}$$

Reduceți fracția \frac{30}{18} la cei mai mici termeni, prin extragerea și reducerea 6.

$$x=\frac{5}{3}$$

Pași pentru completarea pătratului

Ecuațiile de gradul doi ca aceasta pot fi rezolvate prin completarea pătratului. Pentru a completa pătratul, ecuația trebuie mai întâi să fie sub forma x^{2}+bx=c.

$$9x^{2}-30x+25=0$$

Scădeți 25 din ambele părți ale ecuației.

$$9x^{2}-30x+25-25=-25$$

Scăderea 25 din el însuși are ca rezultat 0.

$$9x^{2}-30x=-25$$

Se împart ambele părți la 9.

$$\frac{9x^{2}-30x}{9}=-\frac{25}{9}$$

Împărțirea la 9 anulează înmulțirea cu 9.

$$x^{2}+\left(-\frac{30}{9}\right)x=-\frac{25}{9}$$

Reduceți fracția \frac{-30}{9} la cei mai mici termeni, prin extragerea și reducerea 3.

$$x^{2}-\frac{10}{3}x=-\frac{25}{9}$$

Împărțiți -\frac{10}{3}, coeficientul termenului x, la 2 pentru a obține -\frac{5}{3}. Apoi, adunați pătratul lui -\frac{5}{3} la ambele părți ale ecuației. Acest pas face din partea stângă a ecuației un pătrat perfect.

$$x^{2}-\frac{10}{3}x+\left(-\frac{5}{3}\right)^{2}=-\frac{25}{9}+\left(-\frac{5}{3}\right)^{2}$$

Ridicați -\frac{5}{3} la pătrat, calculând pătratul pentru numărătorul și numitorul fracției.

$$x^{2}-\frac{10}{3}x+\frac{25}{9}=\frac{-25+25}{9}$$

Adunați -\frac{25}{9} cu \frac{25}{9} găsind un numitor comun și adunând numărătorii. Apoi simplificați fracția până devine ireductibilă, dacă este posibil.

$$x^{2}-\frac{10}{3}x+\frac{25}{9}=0$$

Factorul x^{2}-\frac{10}{3}x+\frac{25}{9}. În general, când x^{2}+bx+c este un pătrat perfect, acesta poate fi descompus întotdeauna în factori ca \left(x+\frac{b}{2}\right)^{2}.

$$\left(x-\frac{5}{3}\right)^{2}=0$$

Aflați rădăcina pătrată pentru ambele părți ale ecuației.

$$\sqrt{\left(x-\frac{5}{3}\right)^{2}}=\sqrt{0}$$

Simplificați.

$$x-\frac{5}{3}=0 x-\frac{5}{3}=0$$

Adunați \frac{5}{3} la ambele părți ale ecuației.

$$x=\frac{5}{3} x=\frac{5}{3}$$

Ecuația este rezolvată acum. Soluțiile sunt la fel.

$$x=\frac{5}{3}$$