Rezolvați 9x^2-24x+16=0

$$9 { x }^{ 2 } -24x+16=0$$

Rezolvați pentru x

$$x = \frac{4}{3} = 1\frac{1}{3} \approx 1,333333333$$

Pași utilizând descompunerea în factori prin grupare

Pentru a rezolva ecuația, factor mâna stângă după grupare. Mai întâi, fața la stânga trebuie să fie rescrisă ca 9x^{2}+ax+bx+16. Pentru a găsi a și b, configurați un sistem pentru a fi rezolvat.

$$a+b=-24 ab=9\times 16=144$$

Deoarece ab este pozitiv, a și b au același semn. Deoarece a+b este negativ, a și b sunt negative. Listează toate perechi de valori întregi care oferă produse 144.

$$-1,-144 -2,-72 -3,-48 -4,-36 -6,-24 -8,-18 -9,-16 -12,-12$$

Calculați suma pentru fiecare pereche.

$$-1-144=-145 -2-72=-74 -3-48=-51 -4-36=-40 -6-24=-30 -8-18=-26 -9-16=-25 -12-12=-24$$

Soluția este perechea care dă suma de -24.

$$a=-12 b=-12$$

Rescrieți 9x^{2}-24x+16 ca \left(9x^{2}-12x\right)+\left(-12x+16\right).

$$\left(9x^{2}-12x\right)+\left(-12x+16\right)$$

Factor 3x în primul și -4 în al doilea grup.

$$3x\left(3x-4\right)-4\left(3x-4\right)$$

Scoateți termenul comun 3x-4 prin utilizarea proprietății de distributivitate.

$$\left(3x-4\right)\left(3x-4\right)$$

Rescrieți ca binom pătrat.

$$\left(3x-4\right)^{2}$$

Pentru a găsi soluția ecuației, rezolvați 3x-4=0.

$$x=\frac{4}{3}$$

Pași folosind formula rădăcinilor ecuației de gradul al doilea

Toate ecuațiile de forma ax^{2}+bx+c=0 pot fi rezolvate utilizând formula rădăcinilor ecuației de gradul al doilea: \frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a}. Formula rădăcinilor ecuației de gradul al doilea oferă două soluții, una atunci când operația ± este de adunare și una atunci când este de scădere.

$$9x^{2}-24x+16=0$$

Această ecuație este în formă standard: ax^{2}+bx+c=0. Înlocuiți a cu 9, b cu -24 și c cu 16 în formula rădăcinilor ecuațiilor de gradul al doilea, \frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a}.

$$x=\frac{-\left(-24\right)±\sqrt{\left(-24\right)^{2}-4\times 9\times 16}}{2\times 9}$$

Ridicați -24 la pătrat.

$$x=\frac{-\left(-24\right)±\sqrt{576-4\times 9\times 16}}{2\times 9}$$

Înmulțiți -4 cu 9.

$$x=\frac{-\left(-24\right)±\sqrt{576-36\times 16}}{2\times 9}$$

Înmulțiți -36 cu 16.

$$x=\frac{-\left(-24\right)±\sqrt{576-576}}{2\times 9}$$

Adunați 576 cu -576.

$$x=\frac{-\left(-24\right)±\sqrt{0}}{2\times 9}$$

Aflați rădăcina pătrată pentru 0.

$$x=-\frac{-24}{2\times 9}$$

Opusul lui -24 este 24.

$$x=\frac{24}{2\times 9}$$

Înmulțiți 2 cu 9.

$$x=\frac{24}{18}$$

Reduceți fracția \frac{24}{18} la cei mai mici termeni, prin extragerea și reducerea 6.

$$x=\frac{4}{3}$$

Pași pentru completarea pătratului

Ecuațiile de gradul doi ca aceasta pot fi rezolvate prin completarea pătratului. Pentru a completa pătratul, ecuația trebuie mai întâi să fie sub forma x^{2}+bx=c.

$$9x^{2}-24x+16=0$$

Scădeți 16 din ambele părți ale ecuației.

$$9x^{2}-24x+16-16=-16$$

Scăderea 16 din el însuși are ca rezultat 0.

$$9x^{2}-24x=-16$$

Se împart ambele părți la 9.

$$\frac{9x^{2}-24x}{9}=-\frac{16}{9}$$

Împărțirea la 9 anulează înmulțirea cu 9.

$$x^{2}+\left(-\frac{24}{9}\right)x=-\frac{16}{9}$$

Reduceți fracția \frac{-24}{9} la cei mai mici termeni, prin extragerea și reducerea 3.

$$x^{2}-\frac{8}{3}x=-\frac{16}{9}$$

Împărțiți -\frac{8}{3}, coeficientul termenului x, la 2 pentru a obține -\frac{4}{3}. Apoi, adunați pătratul lui -\frac{4}{3} la ambele părți ale ecuației. Acest pas face din partea stângă a ecuației un pătrat perfect.

$$x^{2}-\frac{8}{3}x+\left(-\frac{4}{3}\right)^{2}=-\frac{16}{9}+\left(-\frac{4}{3}\right)^{2}$$

Ridicați -\frac{4}{3} la pătrat, calculând pătratul pentru numărătorul și numitorul fracției.

$$x^{2}-\frac{8}{3}x+\frac{16}{9}=\frac{-16+16}{9}$$

Adunați -\frac{16}{9} cu \frac{16}{9} găsind un numitor comun și adunând numărătorii. Apoi simplificați fracția până devine ireductibilă, dacă este posibil.

$$x^{2}-\frac{8}{3}x+\frac{16}{9}=0$$

Factor x^{2}-\frac{8}{3}x+\frac{16}{9}. În general, atunci când x^{2}+bx+c este un pătrat perfect, el poate fi descompus în factori oricând ca \left(x+\frac{b}{2}\right)^{2}.

$$\left(x-\frac{4}{3}\right)^{2}=0$$

Aflați rădăcina pătrată pentru ambele părți ale ecuației.

$$\sqrt{\left(x-\frac{4}{3}\right)^{2}}=\sqrt{0}$$

Simplificați.

$$x-\frac{4}{3}=0 x-\frac{4}{3}=0$$

Adunați \frac{4}{3} la ambele părți ale ecuației.

$$x=\frac{4}{3} x=\frac{4}{3}$$

Ecuația este rezolvată acum. Soluțiile sunt la fel.

$$x=\frac{4}{3}$$