Rezolvați 9x^2-14x^+5=0

$$9 { x }^{ 2 } -14 { x }^{ } +5 = 0$$

Rezolvați pentru x

$$x=1$$

$$x=\frac{5}{9}\approx 0,555555556$$

Pași utilizând descompunerea în factori prin grupare

Calculați x la puterea 1 și obțineți x.

$$9x^{2}-14x+5=0$$

Pentru a rezolva ecuația, factor mâna stângă după grupare. Mai întâi, fața la stânga trebuie să fie rescrisă ca 9x^{2}+ax+bx+5. Pentru a găsi a și b, configurați un sistem pentru a fi rezolvat.

$$a+b=-14 ab=9\times 5=45$$

Deoarece ab este pozitiv, a și b au același semn. Deoarece a+b este negativ, a și b sunt negative. Listează toate perechi de valori întregi care oferă produse 45.

$$-1,-45 -3,-15 -5,-9$$

Calculați suma pentru fiecare pereche.

$$-1-45=-46 -3-15=-18 -5-9=-14$$

Soluția este perechea care dă suma de -14.

$$a=-9 b=-5$$

Rescrieți 9x^{2}-14x+5 ca \left(9x^{2}-9x\right)+\left(-5x+5\right).

$$\left(9x^{2}-9x\right)+\left(-5x+5\right)$$

Factor 9x în primul și -5 în al doilea grup.

$$9x\left(x-1\right)-5\left(x-1\right)$$

Scoateți termenul comun x-1 prin utilizarea proprietății de distributivitate.

$$\left(x-1\right)\left(9x-5\right)$$

Pentru a găsi soluții de ecuații, rezolvați x-1=0 și 9x-5=0.

$$x=1 x=\frac{5}{9}$$

Pași folosind formula rădăcinilor ecuației de gradul al doilea

Calculați x la puterea 1 și obțineți x.

$$9x^{2}-14x+5=0$$

Această ecuație este în formă standard: ax^{2}+bx+c=0. Înlocuiți a cu 9, b cu -14 și c cu 5 în formula rădăcinilor ecuațiilor de gradul al doilea, \frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a}.

$$x=\frac{-\left(-14\right)±\sqrt{\left(-14\right)^{2}-4\times 9\times 5}}{2\times 9}$$

Ridicați -14 la pătrat.

$$x=\frac{-\left(-14\right)±\sqrt{196-4\times 9\times 5}}{2\times 9}$$

Înmulțiți -4 cu 9.

$$x=\frac{-\left(-14\right)±\sqrt{196-36\times 5}}{2\times 9}$$

Înmulțiți -36 cu 5.

$$x=\frac{-\left(-14\right)±\sqrt{196-180}}{2\times 9}$$

Adunați 196 cu -180.

$$x=\frac{-\left(-14\right)±\sqrt{16}}{2\times 9}$$

Aflați rădăcina pătrată pentru 16.

$$x=\frac{-\left(-14\right)±4}{2\times 9}$$

Opusul lui -14 este 14.

$$x=\frac{14±4}{2\times 9}$$

Înmulțiți 2 cu 9.

$$x=\frac{14±4}{18}$$

Acum rezolvați ecuația x=\frac{14±4}{18} atunci când ± este plus. Adunați 14 cu 4.

$$x=\frac{18}{18}$$

Împărțiți 18 la 18.

$$x=1$$

Acum rezolvați ecuația x=\frac{14±4}{18} atunci când ± este minus. Scădeți 4 din 14.

$$x=\frac{10}{18}$$

Reduceți fracția \frac{10}{18} la cei mai mici termeni, prin extragerea și reducerea 2.

$$x=\frac{5}{9}$$

Ecuația este rezolvată acum.

$$x=1 x=\frac{5}{9}$$

Pași pentru completarea pătratului

Calculați x la puterea 1 și obțineți x.

$$9x^{2}-14x+5=0$$

Scădeți 5 din ambele părți. Orice se scade din zero dă negativul său.

$$9x^{2}-14x=-5$$

Se împart ambele părți la 9.

$$\frac{9x^{2}-14x}{9}=-\frac{5}{9}$$

Împărțirea la 9 anulează înmulțirea cu 9.

$$x^{2}-\frac{14}{9}x=-\frac{5}{9}$$

Împărțiți -\frac{14}{9}, coeficientul termenului x, la 2 pentru a obține -\frac{7}{9}. Apoi, adunați pătratul lui -\frac{7}{9} la ambele părți ale ecuației. Acest pas face din partea stângă a ecuației un pătrat perfect.

$$x^{2}-\frac{14}{9}x+\left(-\frac{7}{9}\right)^{2}=-\frac{5}{9}+\left(-\frac{7}{9}\right)^{2}$$

Ridicați -\frac{7}{9} la pătrat, calculând pătratul pentru numărătorul și numitorul fracției.

$$x^{2}-\frac{14}{9}x+\frac{49}{81}=-\frac{5}{9}+\frac{49}{81}$$

Adunați -\frac{5}{9} cu \frac{49}{81} găsind un numitor comun și adunând numărătorii. Apoi simplificați fracția până devine ireductibilă, dacă este posibil.

$$x^{2}-\frac{14}{9}x+\frac{49}{81}=\frac{4}{81}$$

Factor x^{2}-\frac{14}{9}x+\frac{49}{81}. În general, atunci când x^{2}+bx+c este un pătrat perfect, el poate fi descompus în factori oricând ca \left(x+\frac{b}{2}\right)^{2}.

$$\left(x-\frac{7}{9}\right)^{2}=\frac{4}{81}$$

Aflați rădăcina pătrată pentru ambele părți ale ecuației.

$$\sqrt{\left(x-\frac{7}{9}\right)^{2}}=\sqrt{\frac{4}{81}}$$

Simplificați.

$$x-\frac{7}{9}=\frac{2}{9} x-\frac{7}{9}=-\frac{2}{9}$$

Adunați \frac{7}{9} la ambele părți ale ecuației.

$$x=1 x=\frac{5}{9}$$