Rezolvați 9x^2-12x+10=0

$$9 { x }^{ 2 } -12x+10=0$$

Rezolvați pentru x (complex solution)

$$x=\frac{2+\sqrt{6}i}{3}\approx 0,666666667+0,816496581i$$

$$x=\frac{-\sqrt{6}i+2}{3}\approx 0,666666667-0,816496581i$$

Pași folosind formula rădăcinilor ecuației de gradul al doilea

Toate ecuațiile de forma ax^{2}+bx+c=0 pot fi rezolvate utilizând formula rădăcinilor ecuației de gradul al doilea: \frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a}. Formula rădăcinilor ecuației de gradul al doilea oferă două soluții, una atunci când operația ± este de adunare și una atunci când este de scădere.

$$9x^{2}-12x+10=0$$

Această ecuație este în formă standard: ax^{2}+bx+c=0. Înlocuiți a cu 9, b cu -12 și c cu 10 în formula rădăcinilor ecuațiilor de gradul al doilea, \frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a}.

$$x=\frac{-\left(-12\right)±\sqrt{\left(-12\right)^{2}-4\times 9\times 10}}{2\times 9}$$

Ridicați -12 la pătrat.

$$x=\frac{-\left(-12\right)±\sqrt{144-4\times 9\times 10}}{2\times 9}$$

Înmulțiți -4 cu 9.

$$x=\frac{-\left(-12\right)±\sqrt{144-36\times 10}}{2\times 9}$$

Înmulțiți -36 cu 10.

$$x=\frac{-\left(-12\right)±\sqrt{144-360}}{2\times 9}$$

Adunați 144 cu -360.

$$x=\frac{-\left(-12\right)±\sqrt{-216}}{2\times 9}$$

Aflați rădăcina pătrată pentru -216.

$$x=\frac{-\left(-12\right)±6\sqrt{6}i}{2\times 9}$$

Opusul lui -12 este 12.

$$x=\frac{12±6\sqrt{6}i}{2\times 9}$$

Înmulțiți 2 cu 9.

$$x=\frac{12±6\sqrt{6}i}{18}$$

Acum rezolvați ecuația x=\frac{12±6\sqrt{6}i}{18} atunci când ± este plus. Adunați 12 cu 6i\sqrt{6}.

$$x=\frac{12+6\sqrt{6}i}{18}$$

Împărțiți 12+6i\sqrt{6} la 18.

$$x=\frac{2+\sqrt{6}i}{3}$$

Acum rezolvați ecuația x=\frac{12±6\sqrt{6}i}{18} atunci când ± este minus. Scădeți 6i\sqrt{6} din 12.

$$x=\frac{-6\sqrt{6}i+12}{18}$$

Împărțiți 12-6i\sqrt{6} la 18.

$$x=\frac{-\sqrt{6}i+2}{3}$$

Ecuația este rezolvată acum.

$$x=\frac{2+\sqrt{6}i}{3} x=\frac{-\sqrt{6}i+2}{3}$$

Pași pentru completarea pătratului

Ecuațiile de gradul doi ca aceasta pot fi rezolvate prin completarea pătratului. Pentru a completa pătratul, ecuația trebuie mai întâi să fie sub forma x^{2}+bx=c.

$$9x^{2}-12x+10=0$$

Scădeți 10 din ambele părți ale ecuației.

$$9x^{2}-12x+10-10=-10$$

Scăderea 10 din el însuși are ca rezultat 0.

$$9x^{2}-12x=-10$$

Se împart ambele părți la 9.

$$\frac{9x^{2}-12x}{9}=-\frac{10}{9}$$

Împărțirea la 9 anulează înmulțirea cu 9.

$$x^{2}+\left(-\frac{12}{9}\right)x=-\frac{10}{9}$$

Reduceți fracția \frac{-12}{9} la cei mai mici termeni, prin extragerea și reducerea 3.

$$x^{2}-\frac{4}{3}x=-\frac{10}{9}$$

Împărțiți -\frac{4}{3}, coeficientul termenului x, la 2 pentru a obține -\frac{2}{3}. Apoi, adunați pătratul lui -\frac{2}{3} la ambele părți ale ecuației. Acest pas face din partea stângă a ecuației un pătrat perfect.

$$x^{2}-\frac{4}{3}x+\left(-\frac{2}{3}\right)^{2}=-\frac{10}{9}+\left(-\frac{2}{3}\right)^{2}$$

Ridicați -\frac{2}{3} la pătrat, calculând pătratul pentru numărătorul și numitorul fracției.

$$x^{2}-\frac{4}{3}x+\frac{4}{9}=\frac{-10+4}{9}$$

Adunați -\frac{10}{9} cu \frac{4}{9} găsind un numitor comun și adunând numărătorii. Apoi simplificați fracția până devine ireductibilă, dacă este posibil.

$$x^{2}-\frac{4}{3}x+\frac{4}{9}=-\frac{2}{3}$$

Factor x^{2}-\frac{4}{3}x+\frac{4}{9}. În general, atunci când x^{2}+bx+c este un pătrat perfect, el poate fi descompus în factori oricând ca \left(x+\frac{b}{2}\right)^{2}.

$$\left(x-\frac{2}{3}\right)^{2}=-\frac{2}{3}$$

Aflați rădăcina pătrată pentru ambele părți ale ecuației.

$$\sqrt{\left(x-\frac{2}{3}\right)^{2}}=\sqrt{-\frac{2}{3}}$$

Simplificați.

$$x-\frac{2}{3}=\frac{\sqrt{6}i}{3} x-\frac{2}{3}=-\frac{\sqrt{6}i}{3}$$

Adunați \frac{2}{3} la ambele părți ale ecuației.

$$x=\frac{2+\sqrt{6}i}{3} x=\frac{-\sqrt{6}i+2}{3}$$