Rezolvați 89x^2-6x+40=0

$$89 x ^ { 2 } - 6 x + 40 = 0$$

Rezolvați pentru x (complex solution)

$$x=\frac{3+\sqrt{3551}i}{89}\approx 0,033707865+0,669553569i$$

$$x=\frac{-\sqrt{3551}i+3}{89}\approx 0,033707865-0,669553569i$$

Pași folosind formula rădăcinilor ecuației de gradul al doilea

Toate ecuațiile de forma ax^{2}+bx+c=0 pot fi rezolvate utilizând formula rădăcinilor ecuației de gradul al doilea: \frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a}. Formula rădăcinilor ecuației de gradul al doilea oferă două soluții, una atunci când operația ± este de adunare și una atunci când este de scădere.

$$89x^{2}-6x+40=0$$

Această ecuație este în formă standard: ax^{2}+bx+c=0. Înlocuiți a cu 89, b cu -6 și c cu 40 în formula rădăcinilor ecuațiilor de gradul al doilea, \frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a}.

$$x=\frac{-\left(-6\right)±\sqrt{\left(-6\right)^{2}-4\times 89\times 40}}{2\times 89}$$

Ridicați -6 la pătrat.

$$x=\frac{-\left(-6\right)±\sqrt{36-4\times 89\times 40}}{2\times 89}$$

Înmulțiți -4 cu 89.

$$x=\frac{-\left(-6\right)±\sqrt{36-356\times 40}}{2\times 89}$$

Înmulțiți -356 cu 40.

$$x=\frac{-\left(-6\right)±\sqrt{36-14240}}{2\times 89}$$

Adunați 36 cu -14240.

$$x=\frac{-\left(-6\right)±\sqrt{-14204}}{2\times 89}$$

Aflați rădăcina pătrată pentru -14204.

$$x=\frac{-\left(-6\right)±2\sqrt{3551}i}{2\times 89}$$

Opusul lui -6 este 6.

$$x=\frac{6±2\sqrt{3551}i}{2\times 89}$$

Înmulțiți 2 cu 89.

$$x=\frac{6±2\sqrt{3551}i}{178}$$

Acum rezolvați ecuația x=\frac{6±2\sqrt{3551}i}{178} atunci când ± este plus. Adunați 6 cu 2i\sqrt{3551}.

$$x=\frac{6+2\sqrt{3551}i}{178}$$

Împărțiți 6+2i\sqrt{3551} la 178.

$$x=\frac{3+\sqrt{3551}i}{89}$$

Acum rezolvați ecuația x=\frac{6±2\sqrt{3551}i}{178} atunci când ± este minus. Scădeți 2i\sqrt{3551} din 6.

$$x=\frac{-2\sqrt{3551}i+6}{178}$$

Împărțiți 6-2i\sqrt{3551} la 178.

$$x=\frac{-\sqrt{3551}i+3}{89}$$

Ecuația este rezolvată acum.

$$x=\frac{3+\sqrt{3551}i}{89} x=\frac{-\sqrt{3551}i+3}{89}$$

Pași pentru completarea pătratului

Ecuațiile de gradul doi ca aceasta pot fi rezolvate prin completarea pătratului. Pentru a completa pătratul, ecuația trebuie mai întâi să fie sub forma x^{2}+bx=c.

$$89x^{2}-6x+40=0$$

Scădeți 40 din ambele părți ale ecuației.

$$89x^{2}-6x+40-40=-40$$

Scăderea 40 din el însuși are ca rezultat 0.

$$89x^{2}-6x=-40$$

Se împart ambele părți la 89.

$$\frac{89x^{2}-6x}{89}=-\frac{40}{89}$$

Împărțirea la 89 anulează înmulțirea cu 89.

$$x^{2}-\frac{6}{89}x=-\frac{40}{89}$$

Împărțiți -\frac{6}{89}, coeficientul termenului x, la 2 pentru a obține -\frac{3}{89}. Apoi, adunați pătratul lui -\frac{3}{89} la ambele părți ale ecuației. Acest pas face din partea stângă a ecuației un pătrat perfect.

$$x^{2}-\frac{6}{89}x+\left(-\frac{3}{89}\right)^{2}=-\frac{40}{89}+\left(-\frac{3}{89}\right)^{2}$$

Ridicați -\frac{3}{89} la pătrat, calculând pătratul pentru numărătorul și numitorul fracției.

$$x^{2}-\frac{6}{89}x+\frac{9}{7921}=-\frac{40}{89}+\frac{9}{7921}$$

Adunați -\frac{40}{89} cu \frac{9}{7921} găsind un numitor comun și adunând numărătorii. Apoi simplificați fracția până devine ireductibilă, dacă este posibil.

$$x^{2}-\frac{6}{89}x+\frac{9}{7921}=-\frac{3551}{7921}$$

Factor x^{2}-\frac{6}{89}x+\frac{9}{7921}. În general, atunci când x^{2}+bx+c este un pătrat perfect, el poate fi descompus în factori oricând ca \left(x+\frac{b}{2}\right)^{2}.

$$\left(x-\frac{3}{89}\right)^{2}=-\frac{3551}{7921}$$

Aflați rădăcina pătrată pentru ambele părți ale ecuației.

$$\sqrt{\left(x-\frac{3}{89}\right)^{2}}=\sqrt{-\frac{3551}{7921}}$$

Simplificați.

$$x-\frac{3}{89}=\frac{\sqrt{3551}i}{89} x-\frac{3}{89}=-\frac{\sqrt{3551}i}{89}$$

Adunați \frac{3}{89} la ambele părți ale ecuației.

$$x=\frac{3+\sqrt{3551}i}{89} x=\frac{-\sqrt{3551}i+3}{89}$$