Rezolvați 84x^2+4sqrt{3}x+3=0

$$84 x ^ { 2 } + 4 \sqrt { 3 } x + 3 = 0$$

Rezolvați pentru x (complex solution)

$$x=\frac{\sqrt{15}i}{21}-\frac{\sqrt{3}}{42}\approx -0,041239305+0,184427778i$$

$$x=-\frac{\sqrt{15}i}{21}-\frac{\sqrt{3}}{42}\approx -0,041239305-0,184427778i$$

Pași folosind formula rădăcinilor ecuației de gradul al doilea

Toate ecuațiile de forma ax^{2}+bx+c=0 pot fi rezolvate utilizând formula rădăcinilor ecuației de gradul al doilea: \frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a}. Formula rădăcinilor ecuației de gradul al doilea oferă două soluții, una atunci când operația ± este de adunare și una atunci când este de scădere.

$$84x^{2}+4\sqrt{3}x+3=0$$

Această ecuație este în formă standard: ax^{2}+bx+c=0. Înlocuiți a cu 84, b cu 4\sqrt{3} și c cu 3 în formula rădăcinilor ecuațiilor de gradul al doilea, \frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a}.

$$x=\frac{-4\sqrt{3}±\sqrt{\left(4\sqrt{3}\right)^{2}-4\times 84\times 3}}{2\times 84}$$

Ridicați 4\sqrt{3} la pătrat.

$$x=\frac{-4\sqrt{3}±\sqrt{48-4\times 84\times 3}}{2\times 84}$$

Înmulțiți -4 cu 84.

$$x=\frac{-4\sqrt{3}±\sqrt{48-336\times 3}}{2\times 84}$$

Înmulțiți -336 cu 3.

$$x=\frac{-4\sqrt{3}±\sqrt{48-1008}}{2\times 84}$$

Adunați 48 cu -1008.

$$x=\frac{-4\sqrt{3}±\sqrt{-960}}{2\times 84}$$

Aflați rădăcina pătrată pentru -960.

$$x=\frac{-4\sqrt{3}±8\sqrt{15}i}{2\times 84}$$

Înmulțiți 2 cu 84.

$$x=\frac{-4\sqrt{3}±8\sqrt{15}i}{168}$$

Acum rezolvați ecuația x=\frac{-4\sqrt{3}±8\sqrt{15}i}{168} atunci când ± este plus. Adunați -4\sqrt{3} cu 8i\sqrt{15}.

$$x=\frac{-4\sqrt{3}+8\sqrt{15}i}{168}$$

Împărțiți -4\sqrt{3}+8i\sqrt{15} la 168.

$$x=\frac{\sqrt{15}i}{21}-\frac{\sqrt{3}}{42}$$

Acum rezolvați ecuația x=\frac{-4\sqrt{3}±8\sqrt{15}i}{168} atunci când ± este minus. Scădeți 8i\sqrt{15} din -4\sqrt{3}.

$$x=\frac{-8\sqrt{15}i-4\sqrt{3}}{168}$$

Împărțiți -4\sqrt{3}-8i\sqrt{15} la 168.

$$x=-\frac{\sqrt{15}i}{21}-\frac{\sqrt{3}}{42}$$

Ecuația este rezolvată acum.

$$x=\frac{\sqrt{15}i}{21}-\frac{\sqrt{3}}{42} x=-\frac{\sqrt{15}i}{21}-\frac{\sqrt{3}}{42}$$

Pași pentru completarea pătratului

Ecuațiile de gradul doi ca aceasta pot fi rezolvate prin completarea pătratului. Pentru a completa pătratul, ecuația trebuie mai întâi să fie sub forma x^{2}+bx=c.

$$84x^{2}+4\sqrt{3}x+3=0$$

Scădeți 3 din ambele părți ale ecuației.

$$84x^{2}+4\sqrt{3}x+3-3=-3$$

Scăderea 3 din el însuși are ca rezultat 0.

$$84x^{2}+4\sqrt{3}x=-3$$

Se împart ambele părți la 84.

$$\frac{84x^{2}+4\sqrt{3}x}{84}=-\frac{3}{84}$$

Împărțirea la 84 anulează înmulțirea cu 84.

$$x^{2}+\frac{4\sqrt{3}}{84}x=-\frac{3}{84}$$

Împărțiți 4\sqrt{3} la 84.

$$x^{2}+\frac{\sqrt{3}}{21}x=-\frac{3}{84}$$

Reduceți fracția \frac{-3}{84} la cei mai mici termeni, prin extragerea și reducerea 3.

$$x^{2}+\frac{\sqrt{3}}{21}x=-\frac{1}{28}$$

Împărțiți \frac{\sqrt{3}}{21}, coeficientul termenului x, la 2 pentru a obține \frac{\sqrt{3}}{42}. Apoi, adunați pătratul lui \frac{\sqrt{3}}{42} la ambele părți ale ecuației. Acest pas face din partea stângă a ecuației un pătrat perfect.

$$x^{2}+\frac{\sqrt{3}}{21}x+\left(\frac{\sqrt{3}}{42}\right)^{2}=-\frac{1}{28}+\left(\frac{\sqrt{3}}{42}\right)^{2}$$

Ridicați \frac{\sqrt{3}}{42} la pătrat.

$$x^{2}+\frac{\sqrt{3}}{21}x+\frac{1}{588}=-\frac{1}{28}+\frac{1}{588}$$

Adunați -\frac{1}{28} cu \frac{1}{588} găsind un numitor comun și adunând numărătorii. Apoi simplificați fracția până devine ireductibilă, dacă este posibil.

$$x^{2}+\frac{\sqrt{3}}{21}x+\frac{1}{588}=-\frac{5}{147}$$

Factor x^{2}+\frac{\sqrt{3}}{21}x+\frac{1}{588}. În general, atunci când x^{2}+bx+c este un pătrat perfect, el poate fi descompus în factori oricând ca \left(x+\frac{b}{2}\right)^{2}.

$$\left(x+\frac{\sqrt{3}}{42}\right)^{2}=-\frac{5}{147}$$

Aflați rădăcina pătrată pentru ambele părți ale ecuației.

$$\sqrt{\left(x+\frac{\sqrt{3}}{42}\right)^{2}}=\sqrt{-\frac{5}{147}}$$

Simplificați.

$$x+\frac{\sqrt{3}}{42}=\frac{\sqrt{15}i}{21} x+\frac{\sqrt{3}}{42}=-\frac{\sqrt{15}i}{21}$$

Scădeți \frac{\sqrt{3}}{42} din ambele părți ale ecuației.

$$x=\frac{\sqrt{15}i}{21}-\frac{\sqrt{3}}{42} x=-\frac{\sqrt{15}i}{21}-\frac{\sqrt{3}}{42}$$