Rezolvați 81x^2-180x+100

$$81 x ^ { 2 } - 180 x + 100$$

Descompunere în factori

$$\left(9x-10\right)^{2}$$

Pașii soluției

Descompuneți expresia în factori prin grupare. Mai întâi, expresia trebuie să fie rescrisă ca 81x^{2}+ax+bx+100. Pentru a găsi a și b, configurați un sistem pentru a fi rezolvat.

$$a+b=-180 ab=81\times 100=8100$$

Deoarece ab este pozitiv, a și b au același semn. Deoarece a+b este negativ, a și b sunt negative. Listează toate perechi de valori întregi care oferă produse 8100.

$$-1,-8100 -2,-4050 -3,-2700 -4,-2025 -5,-1620 -6,-1350 -9,-900 -10,-810 -12,-675 -15,-540 -18,-450 -20,-405 -25,-324 -27,-300 -30,-270 -36,-225 -45,-180 -50,-162 -54,-150 -60,-135 -75,-108 -81,-100 -90,-90$$

Calculați suma pentru fiecare pereche.

$$-1-8100=-8101 -2-4050=-4052 -3-2700=-2703 -4-2025=-2029 -5-1620=-1625 -6-1350=-1356 -9-900=-909 -10-810=-820 -12-675=-687 -15-540=-555 -18-450=-468 -20-405=-425 -25-324=-349 -27-300=-327 -30-270=-300 -36-225=-261 -45-180=-225 -50-162=-212 -54-150=-204 -60-135=-195 -75-108=-183 -81-100=-181 -90-90=-180$$

Soluția este perechea care dă suma de -180.

$$a=-90 b=-90$$

Rescrieți 81x^{2}-180x+100 ca \left(81x^{2}-90x\right)+\left(-90x+100\right).

$$\left(81x^{2}-90x\right)+\left(-90x+100\right)$$

Factor 9x în primul și -10 în al doilea grup.

$$9x\left(9x-10\right)-10\left(9x-10\right)$$

Scoateți termenul comun 9x-10 prin utilizarea proprietății de distributivitate.

$$\left(9x-10\right)\left(9x-10\right)$$

Rescrieți ca binom pătrat.

$$\left(9x-10\right)^{2}$$

Pași utilizând pătratul binomului

Acest trinom are forma unui pătrat de trinom, înmulțit probabil cu un factor comun. Pătratele de trinom pot fi descompuse în factori prin găsirea rădăcinilor pătrate ale termenilor de început și de sfârșit.

$$factor(81x^{2}-180x+100)$$

Găsiți cel mai mare divizor comun al coeficienților.

$$gcf(81,-180,100)=1$$

Aflați rădăcina pătrată a termenului de la început, 81x^{2}.

$$\sqrt{81x^{2}}=9x$$

Aflați rădăcina pătrată a termenului de la sfârșit, 100.

$$\sqrt{100}=10$$

Pătratul trinomului este pătratul binomului ce reprezintă suma sau diferența rădăcinilor pătrate ale termenilor de început și de sfârșit, cu semnul determinat de semnul termenului de mijloc al pătratului trinomului.

$$\left(9x-10\right)^{2}$$

Pași folosind formula rădăcinilor ecuației de gradul al doilea

Polinomul de gradul doi se poate descompune în factori folosind transformarea ax^{2}+bx+c=a\left(x-x_{1}\right)\left(x-x_{2}\right), unde x_{1} și x_{2} sunt soluțiile ecuației de gradul doi ax^{2}+bx+c=0.

$$81x^{2}-180x+100=0$$

Toate ecuațiile de forma ax^{2}+bx+c=0 pot fi rezolvate utilizând formula rădăcinilor ecuației de gradul al doilea: \frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a}. Formula rădăcinilor ecuației de gradul al doilea oferă două soluții, una atunci când operația ± este de adunare și una atunci când este de scădere.

$$x=\frac{-\left(-180\right)±\sqrt{\left(-180\right)^{2}-4\times 81\times 100}}{2\times 81}$$

Ridicați -180 la pătrat.

$$x=\frac{-\left(-180\right)±\sqrt{32400-4\times 81\times 100}}{2\times 81}$$

Înmulțiți -4 cu 81.

$$x=\frac{-\left(-180\right)±\sqrt{32400-324\times 100}}{2\times 81}$$

Înmulțiți -324 cu 100.

$$x=\frac{-\left(-180\right)±\sqrt{32400-32400}}{2\times 81}$$

Adunați 32400 cu -32400.

$$x=\frac{-\left(-180\right)±\sqrt{0}}{2\times 81}$$

Aflați rădăcina pătrată pentru 0.

$$x=\frac{-\left(-180\right)±0}{2\times 81}$$

Opusul lui -180 este 180.

$$x=\frac{180±0}{2\times 81}$$

Înmulțiți 2 cu 81.

$$x=\frac{180±0}{162}$$

Descompuneți în factori expresia inițială utilizând ax^{2}+bx+c=a\left(x-x_{1}\right)\left(x-x_{2}\right). Înlocuiți x_{1} cu \frac{10}{9} și x_{2} cu \frac{10}{9}.

$$81x^{2}-180x+100=81\left(x-\frac{10}{9}\right)\left(x-\frac{10}{9}\right)$$

Scădeți \frac{10}{9} din x găsind un numitor comun și scăzând numărătorii. Apoi simplificați fracția până devine ireductibilă, dacă este posibil.

$$81x^{2}-180x+100=81\times \frac{9x-10}{9}\left(x-\frac{10}{9}\right)$$

Scădeți \frac{10}{9} din x găsind un numitor comun și scăzând numărătorii. Apoi simplificați fracția până devine ireductibilă, dacă este posibil.

$$81x^{2}-180x+100=81\times \frac{9x-10}{9}\times \frac{9x-10}{9}$$

Înmulțiți \frac{9x-10}{9} cu \frac{9x-10}{9} prin înmulțirea valorilor de la numărător și a valorilor de la numitor. Apoi simplificați fracția până devine ireductibilă, dacă este posibil.

$$81x^{2}-180x+100=81\times \frac{\left(9x-10\right)\left(9x-10\right)}{9\times 9}$$

Înmulțiți 9 cu 9.

$$81x^{2}-180x+100=81\times \frac{\left(9x-10\right)\left(9x-10\right)}{81}$$

Simplificați cu 81, cel mai mare factor comun din 81 și 81.

$$81x^{2}-180x+100=\left(9x-10\right)\left(9x-10\right)$$

Evaluați

$$\left(9x-10\right)^{2}$$