Rezolvați 81x^2-18x+9=0

$$81 x ^ { 2 } - 18 x + 9 = 0$$

Rezolvați pentru x (complex solution)

$$x=\frac{1+2\sqrt{2}i}{9}\approx 0,111111111+0,314269681i$$

$$x=\frac{-2\sqrt{2}i+1}{9}\approx 0,111111111-0,314269681i$$

Pași folosind formula rădăcinilor ecuației de gradul al doilea

Toate ecuațiile de forma ax^{2}+bx+c=0 pot fi rezolvate utilizând formula rădăcinilor ecuației de gradul al doilea: \frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a}. Formula rădăcinilor ecuației de gradul al doilea oferă două soluții, una atunci când operația ± este de adunare și una atunci când este de scădere.

$$81x^{2}-18x+9=0$$

Această ecuație este în formă standard: ax^{2}+bx+c=0. Înlocuiți a cu 81, b cu -18 și c cu 9 în formula rădăcinilor ecuațiilor de gradul al doilea, \frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a}.

$$x=\frac{-\left(-18\right)±\sqrt{\left(-18\right)^{2}-4\times 81\times 9}}{2\times 81}$$

Ridicați -18 la pătrat.

$$x=\frac{-\left(-18\right)±\sqrt{324-4\times 81\times 9}}{2\times 81}$$

Înmulțiți -4 cu 81.

$$x=\frac{-\left(-18\right)±\sqrt{324-324\times 9}}{2\times 81}$$

Înmulțiți -324 cu 9.

$$x=\frac{-\left(-18\right)±\sqrt{324-2916}}{2\times 81}$$

Adunați 324 cu -2916.

$$x=\frac{-\left(-18\right)±\sqrt{-2592}}{2\times 81}$$

Aflați rădăcina pătrată pentru -2592.

$$x=\frac{-\left(-18\right)±36\sqrt{2}i}{2\times 81}$$

Opusul lui -18 este 18.

$$x=\frac{18±36\sqrt{2}i}{2\times 81}$$

Înmulțiți 2 cu 81.

$$x=\frac{18±36\sqrt{2}i}{162}$$

Acum rezolvați ecuația x=\frac{18±36\sqrt{2}i}{162} atunci când ± este plus. Adunați 18 cu 36i\sqrt{2}.

$$x=\frac{18+36\sqrt{2}i}{162}$$

Împărțiți 18+36i\sqrt{2} la 162.

$$x=\frac{1+2\sqrt{2}i}{9}$$

Acum rezolvați ecuația x=\frac{18±36\sqrt{2}i}{162} atunci când ± este minus. Scădeți 36i\sqrt{2} din 18.

$$x=\frac{-36\sqrt{2}i+18}{162}$$

Împărțiți 18-36i\sqrt{2} la 162.

$$x=\frac{-2\sqrt{2}i+1}{9}$$

Ecuația este rezolvată acum.

$$x=\frac{1+2\sqrt{2}i}{9} x=\frac{-2\sqrt{2}i+1}{9}$$

Pași pentru completarea pătratului

Ecuațiile de gradul doi ca aceasta pot fi rezolvate prin completarea pătratului. Pentru a completa pătratul, ecuația trebuie mai întâi să fie sub forma x^{2}+bx=c.

$$81x^{2}-18x+9=0$$

Scădeți 9 din ambele părți ale ecuației.

$$81x^{2}-18x+9-9=-9$$

Scăderea 9 din el însuși are ca rezultat 0.

$$81x^{2}-18x=-9$$

Se împart ambele părți la 81.

$$\frac{81x^{2}-18x}{81}=-\frac{9}{81}$$

Împărțirea la 81 anulează înmulțirea cu 81.

$$x^{2}+\left(-\frac{18}{81}\right)x=-\frac{9}{81}$$

Reduceți fracția \frac{-18}{81} la cei mai mici termeni, prin extragerea și reducerea 9.

$$x^{2}-\frac{2}{9}x=-\frac{9}{81}$$

Reduceți fracția \frac{-9}{81} la cei mai mici termeni, prin extragerea și reducerea 9.

$$x^{2}-\frac{2}{9}x=-\frac{1}{9}$$

Împărțiți -\frac{2}{9}, coeficientul termenului x, la 2 pentru a obține -\frac{1}{9}. Apoi, adunați pătratul lui -\frac{1}{9} la ambele părți ale ecuației. Acest pas face din partea stângă a ecuației un pătrat perfect.

$$x^{2}-\frac{2}{9}x+\left(-\frac{1}{9}\right)^{2}=-\frac{1}{9}+\left(-\frac{1}{9}\right)^{2}$$

Ridicați -\frac{1}{9} la pătrat, calculând pătratul pentru numărătorul și numitorul fracției.

$$x^{2}-\frac{2}{9}x+\frac{1}{81}=-\frac{1}{9}+\frac{1}{81}$$

Adunați -\frac{1}{9} cu \frac{1}{81} găsind un numitor comun și adunând numărătorii. Apoi simplificați fracția până devine ireductibilă, dacă este posibil.

$$x^{2}-\frac{2}{9}x+\frac{1}{81}=-\frac{8}{81}$$

Factor x^{2}-\frac{2}{9}x+\frac{1}{81}. În general, atunci când x^{2}+bx+c este un pătrat perfect, el poate fi descompus în factori oricând ca \left(x+\frac{b}{2}\right)^{2}.

$$\left(x-\frac{1}{9}\right)^{2}=-\frac{8}{81}$$

Aflați rădăcina pătrată pentru ambele părți ale ecuației.

$$\sqrt{\left(x-\frac{1}{9}\right)^{2}}=\sqrt{-\frac{8}{81}}$$

Simplificați.

$$x-\frac{1}{9}=\frac{2\sqrt{2}i}{9} x-\frac{1}{9}=-\frac{2\sqrt{2}i}{9}$$

Adunați \frac{1}{9} la ambele părți ale ecuației.

$$x=\frac{1+2\sqrt{2}i}{9} x=\frac{-2\sqrt{2}i+1}{9}$$