Rezolvați 81x^2+180x+100

$$81 x ^ { 2 } + 180 x + 100$$

Descompunere în factori

$$\left(9x+10\right)^{2}$$

Pașii soluției

Descompuneți expresia în factori prin grupare. Mai întâi, expresia trebuie să fie rescrisă ca 81x^{2}+ax+bx+100. Pentru a găsi a și b, configurați un sistem pentru a fi rezolvat.

$$a+b=180 ab=81\times 100=8100$$

Deoarece ab este pozitiv, a și b au același semn. Deoarece a+b este pozitiv, a și b sunt ambele pozitive. Listează toate perechi de valori întregi care oferă produse 8100.

$$1,8100 2,4050 3,2700 4,2025 5,1620 6,1350 9,900 10,810 12,675 15,540 18,450 20,405 25,324 27,300 30,270 36,225 45,180 50,162 54,150 60,135 75,108 81,100 90,90$$

Calculați suma pentru fiecare pereche.

$$1+8100=8101 2+4050=4052 3+2700=2703 4+2025=2029 5+1620=1625 6+1350=1356 9+900=909 10+810=820 12+675=687 15+540=555 18+450=468 20+405=425 25+324=349 27+300=327 30+270=300 36+225=261 45+180=225 50+162=212 54+150=204 60+135=195 75+108=183 81+100=181 90+90=180$$

Soluția este perechea care dă suma de 180.

$$a=90 b=90$$

Rescrieți 81x^{2}+180x+100 ca \left(81x^{2}+90x\right)+\left(90x+100\right).

$$\left(81x^{2}+90x\right)+\left(90x+100\right)$$

Factor 9x în primul și 10 în al doilea grup.

$$9x\left(9x+10\right)+10\left(9x+10\right)$$

Scoateți termenul comun 9x+10 prin utilizarea proprietății de distributivitate.

$$\left(9x+10\right)\left(9x+10\right)$$

Rescrieți ca binom pătrat.

$$\left(9x+10\right)^{2}$$

Pași utilizând pătratul binomului

Acest trinom are forma unui pătrat de trinom, înmulțit probabil cu un factor comun. Pătratele de trinom pot fi descompuse în factori prin găsirea rădăcinilor pătrate ale termenilor de început și de sfârșit.

$$factor(81x^{2}+180x+100)$$

Găsiți cel mai mare divizor comun al coeficienților.

$$gcf(81,180,100)=1$$

Aflați rădăcina pătrată a termenului de la început, 81x^{2}.

$$\sqrt{81x^{2}}=9x$$

Aflați rădăcina pătrată a termenului de la sfârșit, 100.

$$\sqrt{100}=10$$

Pătratul trinomului este pătratul binomului ce reprezintă suma sau diferența rădăcinilor pătrate ale termenilor de început și de sfârșit, cu semnul determinat de semnul termenului de mijloc al pătratului trinomului.

$$\left(9x+10\right)^{2}$$

Pași folosind formula rădăcinilor ecuației de gradul al doilea

Polinomul de gradul doi se poate descompune în factori folosind transformarea ax^{2}+bx+c=a\left(x-x_{1}\right)\left(x-x_{2}\right), unde x_{1} și x_{2} sunt soluțiile ecuației de gradul doi ax^{2}+bx+c=0.

$$81x^{2}+180x+100=0$$

Toate ecuațiile de forma ax^{2}+bx+c=0 pot fi rezolvate utilizând formula rădăcinilor ecuației de gradul al doilea: \frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a}. Formula rădăcinilor ecuației de gradul al doilea oferă două soluții, una atunci când operația ± este de adunare și una atunci când este de scădere.

$$x=\frac{-180±\sqrt{180^{2}-4\times 81\times 100}}{2\times 81}$$

Ridicați 180 la pătrat.

$$x=\frac{-180±\sqrt{32400-4\times 81\times 100}}{2\times 81}$$

Înmulțiți -4 cu 81.

$$x=\frac{-180±\sqrt{32400-324\times 100}}{2\times 81}$$

Înmulțiți -324 cu 100.

$$x=\frac{-180±\sqrt{32400-32400}}{2\times 81}$$

Adunați 32400 cu -32400.

$$x=\frac{-180±\sqrt{0}}{2\times 81}$$

Aflați rădăcina pătrată pentru 0.

$$x=\frac{-180±0}{2\times 81}$$

Înmulțiți 2 cu 81.

$$x=\frac{-180±0}{162}$$

Descompuneți în factori expresia inițială utilizând ax^{2}+bx+c=a\left(x-x_{1}\right)\left(x-x_{2}\right). Înlocuiți x_{1} cu -\frac{10}{9} și x_{2} cu -\frac{10}{9}.

$$81x^{2}+180x+100=81\left(x-\left(-\frac{10}{9}\right)\right)\left(x-\left(-\frac{10}{9}\right)\right)$$

Simplificați toate expresiile formei p-\left(-q\right) la p+q.

$$81x^{2}+180x+100=81\left(x+\frac{10}{9}\right)\left(x+\frac{10}{9}\right)$$

Adunați \frac{10}{9} cu x găsind un numitor comun și adunând numărătorii. Apoi simplificați fracția până devine ireductibilă, dacă este posibil.

$$81x^{2}+180x+100=81\times \frac{9x+10}{9}\left(x+\frac{10}{9}\right)$$

Adunați \frac{10}{9} cu x găsind un numitor comun și adunând numărătorii. Apoi simplificați fracția până devine ireductibilă, dacă este posibil.

$$81x^{2}+180x+100=81\times \frac{9x+10}{9}\times \frac{9x+10}{9}$$

Înmulțiți \frac{9x+10}{9} cu \frac{9x+10}{9} prin înmulțirea valorilor de la numărător și a valorilor de la numitor. Apoi simplificați fracția până devine ireductibilă, dacă este posibil.

$$81x^{2}+180x+100=81\times \frac{\left(9x+10\right)\left(9x+10\right)}{9\times 9}$$

Înmulțiți 9 cu 9.

$$81x^{2}+180x+100=81\times \frac{\left(9x+10\right)\left(9x+10\right)}{81}$$

Simplificați cu 81, cel mai mare factor comun din 81 și 81.

$$81x^{2}+180x+100=\left(9x+10\right)\left(9x+10\right)$$

Evaluați

$$\left(9x+10\right)^{2}$$