Rezolvați 81n^2+18n+1

$$81 n ^ { 2 } + 18 n + 1$$

Descompunere în factori

$$\left(9n+1\right)^{2}$$

Pașii soluției

Descompuneți expresia în factori prin grupare. Mai întâi, expresia trebuie să fie rescrisă ca 81n^{2}+an+bn+1. Pentru a găsi a și b, configurați un sistem pentru a fi rezolvat.

$$a+b=18 ab=81\times 1=81$$

Deoarece ab este pozitiv, a și b au același semn. Deoarece a+b este pozitiv, a și b sunt ambele pozitive. Listează toate perechi de valori întregi care oferă produse 81.

$$1,81 3,27 9,9$$

Calculați suma pentru fiecare pereche.

$$1+81=82 3+27=30 9+9=18$$

Soluția este perechea care dă suma de 18.

$$a=9 b=9$$

Rescrieți 81n^{2}+18n+1 ca \left(81n^{2}+9n\right)+\left(9n+1\right).

$$\left(81n^{2}+9n\right)+\left(9n+1\right)$$

Scoateți factorul comun 9n din 81n^{2}+9n.

$$9n\left(9n+1\right)+9n+1$$

Scoateți termenul comun 9n+1 prin utilizarea proprietății de distributivitate.

$$\left(9n+1\right)\left(9n+1\right)$$

Rescrieți ca binom pătrat.

$$\left(9n+1\right)^{2}$$

Pași utilizând pătratul binomului

Acest trinom are forma unui pătrat de trinom, înmulțit probabil cu un factor comun. Pătratele de trinom pot fi descompuse în factori prin găsirea rădăcinilor pătrate ale termenilor de început și de sfârșit.

$$factor(81n^{2}+18n+1)$$

Găsiți cel mai mare divizor comun al coeficienților.

$$gcf(81,18,1)=1$$

Aflați rădăcina pătrată a termenului de la început, 81n^{2}.

$$\sqrt{81n^{2}}=9n$$

Pătratul trinomului este pătratul binomului ce reprezintă suma sau diferența rădăcinilor pătrate ale termenilor de început și de sfârșit, cu semnul determinat de semnul termenului de mijloc al pătratului trinomului.

$$\left(9n+1\right)^{2}$$

Pași folosind formula rădăcinilor ecuației de gradul al doilea

Polinomul de gradul doi se poate descompune în factori folosind transformarea ax^{2}+bx+c=a\left(x-x_{1}\right)\left(x-x_{2}\right), unde x_{1} și x_{2} sunt soluțiile ecuației de gradul doi ax^{2}+bx+c=0.

$$81n^{2}+18n+1=0$$

Toate ecuațiile de forma ax^{2}+bx+c=0 pot fi rezolvate utilizând formula rădăcinilor ecuației de gradul al doilea: \frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a}. Formula rădăcinilor ecuației de gradul al doilea oferă două soluții, una atunci când operația ± este de adunare și una atunci când este de scădere.

$$n=\frac{-18±\sqrt{18^{2}-4\times 81}}{2\times 81}$$

Ridicați 18 la pătrat.

$$n=\frac{-18±\sqrt{324-4\times 81}}{2\times 81}$$

Înmulțiți -4 cu 81.

$$n=\frac{-18±\sqrt{324-324}}{2\times 81}$$

Adunați 324 cu -324.

$$n=\frac{-18±\sqrt{0}}{2\times 81}$$

Aflați rădăcina pătrată pentru 0.

$$n=\frac{-18±0}{2\times 81}$$

Înmulțiți 2 cu 81.

$$n=\frac{-18±0}{162}$$

Descompuneți în factori expresia inițială utilizând ax^{2}+bx+c=a\left(x-x_{1}\right)\left(x-x_{2}\right). Înlocuiți x_{1} cu -\frac{1}{9} și x_{2} cu -\frac{1}{9}.

$$81n^{2}+18n+1=81\left(n-\left(-\frac{1}{9}\right)\right)\left(n-\left(-\frac{1}{9}\right)\right)$$

Simplificați toate expresiile formei p-\left(-q\right) la p+q.

$$81n^{2}+18n+1=81\left(n+\frac{1}{9}\right)\left(n+\frac{1}{9}\right)$$

Adunați \frac{1}{9} cu n găsind un numitor comun și adunând numărătorii. Apoi simplificați fracția până devine ireductibilă, dacă este posibil.

$$81n^{2}+18n+1=81\times \frac{9n+1}{9}\left(n+\frac{1}{9}\right)$$

Adunați \frac{1}{9} cu n găsind un numitor comun și adunând numărătorii. Apoi simplificați fracția până devine ireductibilă, dacă este posibil.

$$81n^{2}+18n+1=81\times \frac{9n+1}{9}\times \frac{9n+1}{9}$$

Înmulțiți \frac{9n+1}{9} cu \frac{9n+1}{9} prin înmulțirea valorilor de la numărător și a valorilor de la numitor. Apoi simplificați fracția până devine ireductibilă, dacă este posibil.

$$81n^{2}+18n+1=81\times \frac{\left(9n+1\right)\left(9n+1\right)}{9\times 9}$$

Înmulțiți 9 cu 9.

$$81n^{2}+18n+1=81\times \frac{\left(9n+1\right)\left(9n+1\right)}{81}$$

Simplificați cu 81, cel mai mare factor comun din 81 și 81.

$$81n^{2}+18n+1=\left(9n+1\right)\left(9n+1\right)$$

Evaluați

$$\left(9n+1\right)^{2}$$