Rezolvați 81b^2-126b+48=0

$$81 b ^ { 2 } - 126 b + 48 = 0$$

Rezolvați pentru b

$$b=\frac{2}{3}\approx 0,666666667$$

$$b=\frac{8}{9}\approx 0,888888889$$

Pași folosind formula rădăcinilor ecuației de gradul al doilea

Toate ecuațiile de forma ax^{2}+bx+c=0 pot fi rezolvate utilizând formula rădăcinilor ecuației de gradul al doilea: \frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a}. Formula rădăcinilor ecuației de gradul al doilea oferă două soluții, una atunci când operația ± este de adunare și una atunci când este de scădere.

$$81b^{2}-126b+48=0$$

Această ecuație este în formă standard: ax^{2}+bx+c=0. Înlocuiți a cu 81, b cu -126 și c cu 48 în formula rădăcinilor ecuațiilor de gradul al doilea, \frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a}.

$$b=\frac{-\left(-126\right)±\sqrt{\left(-126\right)^{2}-4\times 81\times 48}}{2\times 81}$$

Ridicați -126 la pătrat.

$$b=\frac{-\left(-126\right)±\sqrt{15876-4\times 81\times 48}}{2\times 81}$$

Înmulțiți -4 cu 81.

$$b=\frac{-\left(-126\right)±\sqrt{15876-324\times 48}}{2\times 81}$$

Înmulțiți -324 cu 48.

$$b=\frac{-\left(-126\right)±\sqrt{15876-15552}}{2\times 81}$$

Adunați 15876 cu -15552.

$$b=\frac{-\left(-126\right)±\sqrt{324}}{2\times 81}$$

Aflați rădăcina pătrată pentru 324.

$$b=\frac{-\left(-126\right)±18}{2\times 81}$$

Opusul lui -126 este 126.

$$b=\frac{126±18}{2\times 81}$$

Înmulțiți 2 cu 81.

$$b=\frac{126±18}{162}$$

Acum rezolvați ecuația b=\frac{126±18}{162} atunci când ± este plus. Adunați 126 cu 18.

$$b=\frac{144}{162}$$

Reduceți fracția \frac{144}{162} la cei mai mici termeni, prin extragerea și reducerea 18.

$$b=\frac{8}{9}$$

Acum rezolvați ecuația b=\frac{126±18}{162} atunci când ± este minus. Scădeți 18 din 126.

$$b=\frac{108}{162}$$

Reduceți fracția \frac{108}{162} la cei mai mici termeni, prin extragerea și reducerea 54.

$$b=\frac{2}{3}$$

Ecuația este rezolvată acum.

$$b=\frac{8}{9} b=\frac{2}{3}$$

Pași pentru completarea pătratului

Ecuațiile de gradul doi ca aceasta pot fi rezolvate prin completarea pătratului. Pentru a completa pătratul, ecuația trebuie mai întâi să fie sub forma x^{2}+bx=c.

$$81b^{2}-126b+48=0$$

Scădeți 48 din ambele părți ale ecuației.

$$81b^{2}-126b+48-48=-48$$

Scăderea 48 din el însuși are ca rezultat 0.

$$81b^{2}-126b=-48$$

Se împart ambele părți la 81.

$$\frac{81b^{2}-126b}{81}=-\frac{48}{81}$$

Împărțirea la 81 anulează înmulțirea cu 81.

$$b^{2}+\left(-\frac{126}{81}\right)b=-\frac{48}{81}$$

Reduceți fracția \frac{-126}{81} la cei mai mici termeni, prin extragerea și reducerea 9.

$$b^{2}-\frac{14}{9}b=-\frac{48}{81}$$

Reduceți fracția \frac{-48}{81} la cei mai mici termeni, prin extragerea și reducerea 3.

$$b^{2}-\frac{14}{9}b=-\frac{16}{27}$$

Împărțiți -\frac{14}{9}, coeficientul termenului x, la 2 pentru a obține -\frac{7}{9}. Apoi, adunați pătratul lui -\frac{7}{9} la ambele părți ale ecuației. Acest pas face din partea stângă a ecuației un pătrat perfect.

$$b^{2}-\frac{14}{9}b+\left(-\frac{7}{9}\right)^{2}=-\frac{16}{27}+\left(-\frac{7}{9}\right)^{2}$$

Ridicați -\frac{7}{9} la pătrat, calculând pătratul pentru numărătorul și numitorul fracției.

$$b^{2}-\frac{14}{9}b+\frac{49}{81}=-\frac{16}{27}+\frac{49}{81}$$

Adunați -\frac{16}{27} cu \frac{49}{81} găsind un numitor comun și adunând numărătorii. Apoi simplificați fracția până devine ireductibilă, dacă este posibil.

$$b^{2}-\frac{14}{9}b+\frac{49}{81}=\frac{1}{81}$$

Factor b^{2}-\frac{14}{9}b+\frac{49}{81}. În general, atunci când x^{2}+bx+c este un pătrat perfect, el poate fi descompus în factori oricând ca \left(x+\frac{b}{2}\right)^{2}.

$$\left(b-\frac{7}{9}\right)^{2}=\frac{1}{81}$$

Aflați rădăcina pătrată pentru ambele părți ale ecuației.

$$\sqrt{\left(b-\frac{7}{9}\right)^{2}}=\sqrt{\frac{1}{81}}$$

Simplificați.

$$b-\frac{7}{9}=\frac{1}{9} b-\frac{7}{9}=-\frac{1}{9}$$

Adunați \frac{7}{9} la ambele părți ale ecuației.

$$b=\frac{8}{9} b=\frac{2}{3}$$