Rezolvați 81x^2+90x+25

$$81 { x }^{ 2 } +90x+25$$

Descompunere în factori

$$\left(9x+5\right)^{2}$$

Pașii soluției

Descompuneți expresia în factori prin grupare. Mai întâi, expresia trebuie să fie rescrisă ca 81x^{2}+ax+bx+25. Pentru a găsi a și b, configurați un sistem pentru a fi rezolvat.

$$a+b=90 ab=81\times 25=2025$$

Deoarece ab este pozitiv, a și b au același semn. Deoarece a+b este pozitiv, a și b sunt ambele pozitive. Listează toate perechi de valori întregi care oferă produse 2025.

$$1,2025 3,675 5,405 9,225 15,135 25,81 27,75 45,45$$

Calculați suma pentru fiecare pereche.

$$1+2025=2026 3+675=678 5+405=410 9+225=234 15+135=150 25+81=106 27+75=102 45+45=90$$

Soluția este perechea care dă suma de 90.

$$a=45 b=45$$

Rescrieți 81x^{2}+90x+25 ca \left(81x^{2}+45x\right)+\left(45x+25\right).

$$\left(81x^{2}+45x\right)+\left(45x+25\right)$$

Factor 9x în primul și 5 în al doilea grup.

$$9x\left(9x+5\right)+5\left(9x+5\right)$$

Scoateți termenul comun 9x+5 prin utilizarea proprietății de distributivitate.

$$\left(9x+5\right)\left(9x+5\right)$$

Rescrieți ca binom pătrat.

$$\left(9x+5\right)^{2}$$

Pași utilizând pătratul binomului

Acest trinom are forma unui pătrat de trinom, înmulțit probabil cu un factor comun. Pătratele de trinom pot fi descompuse în factori prin găsirea rădăcinilor pătrate ale termenilor de început și de sfârșit.

$$factor(81x^{2}+90x+25)$$

Găsiți cel mai mare divizor comun al coeficienților.

$$gcf(81,90,25)=1$$

Aflați rădăcina pătrată a termenului de la început, 81x^{2}.

$$\sqrt{81x^{2}}=9x$$

Aflați rădăcina pătrată a termenului de la sfârșit, 25.

$$\sqrt{25}=5$$

Pătratul trinomului este pătratul binomului ce reprezintă suma sau diferența rădăcinilor pătrate ale termenilor de început și de sfârșit, cu semnul determinat de semnul termenului de mijloc al pătratului trinomului.

$$\left(9x+5\right)^{2}$$

Pași folosind formula rădăcinilor ecuației de gradul al doilea

Polinomul de gradul doi se poate descompune în factori folosind transformarea ax^{2}+bx+c=a\left(x-x_{1}\right)\left(x-x_{2}\right), unde x_{1} și x_{2} sunt soluțiile ecuației de gradul doi ax^{2}+bx+c=0.

$$81x^{2}+90x+25=0$$

Toate ecuațiile de forma ax^{2}+bx+c=0 pot fi rezolvate utilizând formula rădăcinilor ecuației de gradul al doilea: \frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a}. Formula rădăcinilor ecuației de gradul al doilea oferă două soluții, una atunci când operația ± este de adunare și una atunci când este de scădere.

$$x=\frac{-90±\sqrt{90^{2}-4\times 81\times 25}}{2\times 81}$$

Ridicați 90 la pătrat.

$$x=\frac{-90±\sqrt{8100-4\times 81\times 25}}{2\times 81}$$

Înmulțiți -4 cu 81.

$$x=\frac{-90±\sqrt{8100-324\times 25}}{2\times 81}$$

Înmulțiți -324 cu 25.

$$x=\frac{-90±\sqrt{8100-8100}}{2\times 81}$$

Adunați 8100 cu -8100.

$$x=\frac{-90±\sqrt{0}}{2\times 81}$$

Aflați rădăcina pătrată pentru 0.

$$x=\frac{-90±0}{2\times 81}$$

Înmulțiți 2 cu 81.

$$x=\frac{-90±0}{162}$$

Descompuneți în factori expresia inițială utilizând ax^{2}+bx+c=a\left(x-x_{1}\right)\left(x-x_{2}\right). Înlocuiți x_{1} cu -\frac{5}{9} și x_{2} cu -\frac{5}{9}.

$$81x^{2}+90x+25=81\left(x-\left(-\frac{5}{9}\right)\right)\left(x-\left(-\frac{5}{9}\right)\right)$$

Simplificați toate expresiile formei p-\left(-q\right) la p+q.

$$81x^{2}+90x+25=81\left(x+\frac{5}{9}\right)\left(x+\frac{5}{9}\right)$$

Adunați \frac{5}{9} cu x găsind un numitor comun și adunând numărătorii. Apoi simplificați fracția până devine ireductibilă, dacă este posibil.

$$81x^{2}+90x+25=81\times \frac{9x+5}{9}\left(x+\frac{5}{9}\right)$$

Adunați \frac{5}{9} cu x găsind un numitor comun și adunând numărătorii. Apoi simplificați fracția până devine ireductibilă, dacă este posibil.

$$81x^{2}+90x+25=81\times \frac{9x+5}{9}\times \frac{9x+5}{9}$$

Înmulțiți \frac{9x+5}{9} cu \frac{9x+5}{9} prin înmulțirea valorilor de la numărător și a valorilor de la numitor. Apoi simplificați fracția până devine ireductibilă, dacă este posibil.

$$81x^{2}+90x+25=81\times \frac{\left(9x+5\right)\left(9x+5\right)}{9\times 9}$$

Înmulțiți 9 cu 9.

$$81x^{2}+90x+25=81\times \frac{\left(9x+5\right)\left(9x+5\right)}{81}$$

Simplificați cu 81, cel mai mare factor comun din 81 și 81.

$$81x^{2}+90x+25=\left(9x+5\right)\left(9x+5\right)$$

Evaluați

$$\left(9x+5\right)^{2}$$