Rezolvați 800x+500x(9+x)=6000

$$800x+500x(9+x)=6000$$

Rezolvați pentru x

$$x = \frac{\sqrt{4009} - 53}{10} \approx 1,031666447$$

$$x=\frac{-\sqrt{4009}-53}{10}\approx -11,631666447$$

Pași folosind formula rădăcinilor ecuației de gradul al doilea

Utilizați proprietatea de distributivitate pentru a înmulți 500x cu 9+x.

$$800x+4500x+500x^{2}=6000$$

Combinați 800x cu 4500x pentru a obține 5300x.

$$5300x+500x^{2}=6000$$

Scădeți 6000 din ambele părți.

$$5300x+500x^{2}-6000=0$$

Toate ecuațiile de forma ax^{2}+bx+c=0 pot fi rezolvate utilizând formula rădăcinilor ecuației de gradul al doilea: \frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a}. Formula rădăcinilor ecuației de gradul al doilea oferă două soluții, una atunci când operația ± este de adunare și una atunci când este de scădere.

$$500x^{2}+5300x-6000=0$$

Această ecuație este în formă standard: ax^{2}+bx+c=0. Înlocuiți a cu 500, b cu 5300 și c cu -6000 în formula rădăcinilor ecuațiilor de gradul al doilea, \frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a}.

$$x=\frac{-5300±\sqrt{5300^{2}-4\times 500\left(-6000\right)}}{2\times 500}$$

Ridicați 5300 la pătrat.

$$x=\frac{-5300±\sqrt{28090000-4\times 500\left(-6000\right)}}{2\times 500}$$

Înmulțiți -4 cu 500.

$$x=\frac{-5300±\sqrt{28090000-2000\left(-6000\right)}}{2\times 500}$$

Înmulțiți -2000 cu -6000.

$$x=\frac{-5300±\sqrt{28090000+12000000}}{2\times 500}$$

Adunați 28090000 cu 12000000.

$$x=\frac{-5300±\sqrt{40090000}}{2\times 500}$$

Aflați rădăcina pătrată pentru 40090000.

$$x=\frac{-5300±100\sqrt{4009}}{2\times 500}$$

Înmulțiți 2 cu 500.

$$x=\frac{-5300±100\sqrt{4009}}{1000}$$

Acum rezolvați ecuația x=\frac{-5300±100\sqrt{4009}}{1000} atunci când ± este plus. Adunați -5300 cu 100\sqrt{4009}.

$$x=\frac{100\sqrt{4009}-5300}{1000}$$

Împărțiți -5300+100\sqrt{4009} la 1000.

$$x=\frac{\sqrt{4009}-53}{10}$$

Acum rezolvați ecuația x=\frac{-5300±100\sqrt{4009}}{1000} atunci când ± este minus. Scădeți 100\sqrt{4009} din -5300.

$$x=\frac{-100\sqrt{4009}-5300}{1000}$$

Împărțiți -5300-100\sqrt{4009} la 1000.

$$x=\frac{-\sqrt{4009}-53}{10}$$

Ecuația este rezolvată acum.

$$x=\frac{\sqrt{4009}-53}{10} x=\frac{-\sqrt{4009}-53}{10}$$

Pași pentru completarea pătratului

Utilizați proprietatea de distributivitate pentru a înmulți 500x cu 9+x.

$$800x+4500x+500x^{2}=6000$$

Combinați 800x cu 4500x pentru a obține 5300x.

$$5300x+500x^{2}=6000$$

Ecuațiile de gradul doi ca aceasta pot fi rezolvate prin completarea pătratului. Pentru a completa pătratul, ecuația trebuie mai întâi să fie sub forma x^{2}+bx=c.

$$500x^{2}+5300x=6000$$

Se împart ambele părți la 500.

$$\frac{500x^{2}+5300x}{500}=\frac{6000}{500}$$

Împărțirea la 500 anulează înmulțirea cu 500.

$$x^{2}+\frac{5300}{500}x=\frac{6000}{500}$$

Reduceți fracția \frac{5300}{500} la cei mai mici termeni, prin extragerea și reducerea 100.

$$x^{2}+\frac{53}{5}x=\frac{6000}{500}$$

Împărțiți 6000 la 500.

$$x^{2}+\frac{53}{5}x=12$$

Împărțiți \frac{53}{5}, coeficientul termenului x, la 2 pentru a obține \frac{53}{10}. Apoi, adunați pătratul lui \frac{53}{10} la ambele părți ale ecuației. Acest pas face din partea stângă a ecuației un pătrat perfect.

$$x^{2}+\frac{53}{5}x+\left(\frac{53}{10}\right)^{2}=12+\left(\frac{53}{10}\right)^{2}$$

Ridicați \frac{53}{10} la pătrat, calculând pătratul pentru numărătorul și numitorul fracției.

$$x^{2}+\frac{53}{5}x+\frac{2809}{100}=12+\frac{2809}{100}$$

Adunați 12 cu \frac{2809}{100}.

$$x^{2}+\frac{53}{5}x+\frac{2809}{100}=\frac{4009}{100}$$

Factor x^{2}+\frac{53}{5}x+\frac{2809}{100}. În general, atunci când x^{2}+bx+c este un pătrat perfect, el poate fi descompus în factori oricând ca \left(x+\frac{b}{2}\right)^{2}.

$$\left(x+\frac{53}{10}\right)^{2}=\frac{4009}{100}$$

Aflați rădăcina pătrată pentru ambele părți ale ecuației.

$$\sqrt{\left(x+\frac{53}{10}\right)^{2}}=\sqrt{\frac{4009}{100}}$$

Simplificați.

$$x+\frac{53}{10}=\frac{\sqrt{4009}}{10} x+\frac{53}{10}=-\frac{\sqrt{4009}}{10}$$

Scădeți \frac{53}{10} din ambele părți ale ecuației.

$$x=\frac{\sqrt{4009}-53}{10} x=\frac{-\sqrt{4009}-53}{10}$$