Rezolvați 8z^2+14z+3=

$$8 z ^ { 2 } + 14 z + 3 =$$

Descompunere în factori

$$\left(2z+3\right)\left(4z+1\right)$$

Pașii soluției

Descompuneți expresia în factori prin grupare. Mai întâi, expresia trebuie să fie rescrisă ca 8z^{2}+az+bz+3. Pentru a găsi a și b, configurați un sistem pentru a fi rezolvat.

$$a+b=14 ab=8\times 3=24$$

Deoarece ab este pozitiv, a și b au același semn. Deoarece a+b este pozitiv, a și b sunt ambele pozitive. Listează toate perechi de valori întregi care oferă produse 24.

$$1,24 2,12 3,8 4,6$$

Calculați suma pentru fiecare pereche.

$$1+24=25 2+12=14 3+8=11 4+6=10$$

Soluția este perechea care dă suma de 14.

$$a=2 b=12$$

Rescrieți 8z^{2}+14z+3 ca \left(8z^{2}+2z\right)+\left(12z+3\right).

$$\left(8z^{2}+2z\right)+\left(12z+3\right)$$

Factor 2z în primul și 3 în al doilea grup.

$$2z\left(4z+1\right)+3\left(4z+1\right)$$

Scoateți termenul comun 4z+1 prin utilizarea proprietății de distributivitate.

$$\left(4z+1\right)\left(2z+3\right)$$

Pași folosind formula rădăcinilor ecuației de gradul al doilea

Polinomul de gradul doi se poate descompune în factori folosind transformarea ax^{2}+bx+c=a\left(x-x_{1}\right)\left(x-x_{2}\right), unde x_{1} și x_{2} sunt soluțiile ecuației de gradul doi ax^{2}+bx+c=0.

$$8z^{2}+14z+3=0$$

Toate ecuațiile de forma ax^{2}+bx+c=0 pot fi rezolvate utilizând formula rădăcinilor ecuației de gradul al doilea: \frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a}. Formula rădăcinilor ecuației de gradul al doilea oferă două soluții, una atunci când operația ± este de adunare și una atunci când este de scădere.

$$z=\frac{-14±\sqrt{14^{2}-4\times 8\times 3}}{2\times 8}$$

Ridicați 14 la pătrat.

$$z=\frac{-14±\sqrt{196-4\times 8\times 3}}{2\times 8}$$

Înmulțiți -4 cu 8.

$$z=\frac{-14±\sqrt{196-32\times 3}}{2\times 8}$$

Înmulțiți -32 cu 3.

$$z=\frac{-14±\sqrt{196-96}}{2\times 8}$$

Adunați 196 cu -96.

$$z=\frac{-14±\sqrt{100}}{2\times 8}$$

Aflați rădăcina pătrată pentru 100.

$$z=\frac{-14±10}{2\times 8}$$

Înmulțiți 2 cu 8.

$$z=\frac{-14±10}{16}$$

Acum rezolvați ecuația z=\frac{-14±10}{16} atunci când ± este plus. Adunați -14 cu 10.

$$z=-\frac{4}{16}$$

Reduceți fracția \frac{-4}{16} la cei mai mici termeni, prin extragerea și reducerea 4.

$$z=-\frac{1}{4}$$

Acum rezolvați ecuația z=\frac{-14±10}{16} atunci când ± este minus. Scădeți 10 din -14.

$$z=-\frac{24}{16}$$

Reduceți fracția \frac{-24}{16} la cei mai mici termeni, prin extragerea și reducerea 8.

$$z=-\frac{3}{2}$$

Descompuneți în factori expresia inițială utilizând ax^{2}+bx+c=a\left(x-x_{1}\right)\left(x-x_{2}\right). Înlocuiți x_{1} cu -\frac{1}{4} și x_{2} cu -\frac{3}{2}.

$$8z^{2}+14z+3=8\left(z-\left(-\frac{1}{4}\right)\right)\left(z-\left(-\frac{3}{2}\right)\right)$$

Simplificați toate expresiile formei p-\left(-q\right) la p+q.

$$8z^{2}+14z+3=8\left(z+\frac{1}{4}\right)\left(z+\frac{3}{2}\right)$$

Adunați \frac{1}{4} cu z găsind un numitor comun și adunând numărătorii. Apoi simplificați fracția până devine ireductibilă, dacă este posibil.

$$8z^{2}+14z+3=8\times \frac{4z+1}{4}\left(z+\frac{3}{2}\right)$$

Adunați \frac{3}{2} cu z găsind un numitor comun și adunând numărătorii. Apoi simplificați fracția până devine ireductibilă, dacă este posibil.

$$8z^{2}+14z+3=8\times \frac{4z+1}{4}\times \frac{2z+3}{2}$$

Înmulțiți \frac{4z+1}{4} cu \frac{2z+3}{2} prin înmulțirea valorilor de la numărător și a valorilor de la numitor. Apoi simplificați fracția până devine ireductibilă, dacă este posibil.

$$8z^{2}+14z+3=8\times \frac{\left(4z+1\right)\left(2z+3\right)}{4\times 2}$$

Înmulțiți 4 cu 2.

$$8z^{2}+14z+3=8\times \frac{\left(4z+1\right)\left(2z+3\right)}{8}$$

Simplificați cu 8, cel mai mare factor comun din 8 și 8.

$$8z^{2}+14z+3=\left(4z+1\right)\left(2z+3\right)$$

Evaluați

$$\left(2z+3\right)\left(4z+1\right)$$