Rezolvați 8y^3-27=0

$$8 y ^ { 3 } - 27 = 0$$

Rezolvați pentru y (complex solution)

$$y=\frac{-3\sqrt{3}i-3}{4}\approx -0,75-1,299038106i$$

$$y = \frac{3}{2} = 1\frac{1}{2} = 1,5$$

$$y=\frac{-3+3\sqrt{3}i}{4}\approx -0,75+1,299038106i$$

Pașii soluției

Conform teoremei rădăcinii raționale, toate rădăcinile raționale ale unui polinom sunt de forma \frac{p}{q}, unde p împarte termenul constant -27 și q împarte coeficientul inițial 8. Enumerați toți candidații \frac{p}{q}.

$$±\frac{27}{8},±\frac{27}{4},±\frac{27}{2},±27,±\frac{9}{8},±\frac{9}{4},±\frac{9}{2},±9,±\frac{3}{8},±\frac{3}{4},±\frac{3}{2},±3,±\frac{1}{8},±\frac{1}{4},±\frac{1}{2},±1$$

Găsiți o astfel de rădăcină, încercând toate valorile întregi, pornind de la cea mai mică valoare absolută. Dacă nu s-au găsit rădăcini întregi, încercați fracțiuni.

$$y=\frac{3}{2}$$

Conform teoremei descompunerii factoriale, y-k este un factor al polinomului pentru fiecare rădăcină k. Împărțiți 8y^{3}-27 la 2\left(y-\frac{3}{2}\right)=2y-3 pentru a obține 4y^{2}+6y+9. Rezolvați ecuația în care rezultatul este egal cu 0.

$$4y^{2}+6y+9=0$$

Toate ecuațiile de forma ax^{2}+bx+c=0 pot fi rezolvate folosind formula ecuației de gradul doi: \frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a}. În formulă, înlocuiți a cu 4, b cu 6 și c cu 9.

$$y=\frac{-6±\sqrt{6^{2}-4\times 4\times 9}}{2\times 4}$$

Faceți calculele.

$$y=\frac{-6±\sqrt{-108}}{8}$$

Rezolvați ecuația 4y^{2}+6y+9=0 când ± este plus și când ± este minus.

$$y=\frac{-3i\sqrt{3}-3}{4} y=\frac{-3+3i\sqrt{3}}{4}$$

Listați toate soluțiile găsite.

$$y=\frac{3}{2} y=\frac{-3i\sqrt{3}-3}{4} y=\frac{-3+3i\sqrt{3}}{4}$$

Rezolvați pentru y

$$y = \frac{3}{2} = 1\frac{1}{2} = 1,5$$

Pașii soluției

Conform teoremei rădăcinii raționale, toate rădăcinile raționale ale unui polinom sunt de forma \frac{p}{q}, unde p împarte termenul constant -27 și q împarte coeficientul inițial 8. Enumerați toți candidații \frac{p}{q}.

$$±\frac{27}{8},±\frac{27}{4},±\frac{27}{2},±27,±\frac{9}{8},±\frac{9}{4},±\frac{9}{2},±9,±\frac{3}{8},±\frac{3}{4},±\frac{3}{2},±3,±\frac{1}{8},±\frac{1}{4},±\frac{1}{2},±1$$

Găsiți o astfel de rădăcină, încercând toate valorile întregi, pornind de la cea mai mică valoare absolută. Dacă nu s-au găsit rădăcini întregi, încercați fracțiuni.

$$y=\frac{3}{2}$$

Conform teoremei descompunerii factoriale, y-k este un factor al polinomului pentru fiecare rădăcină k. Împărțiți 8y^{3}-27 la 2\left(y-\frac{3}{2}\right)=2y-3 pentru a obține 4y^{2}+6y+9. Rezolvați ecuația în care rezultatul este egal cu 0.

$$4y^{2}+6y+9=0$$

Toate ecuațiile de forma ax^{2}+bx+c=0 pot fi rezolvate folosind formula ecuației de gradul doi: \frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a}. În formulă, înlocuiți a cu 4, b cu 6 și c cu 9.

$$y=\frac{-6±\sqrt{6^{2}-4\times 4\times 9}}{2\times 4}$$

Faceți calculele.

$$y=\frac{-6±\sqrt{-108}}{8}$$

Pentru că rădăcina pătrată a unui număr negativ nu este definită în câmpul real, nu există soluții.

$$y\in \emptyset$$

Listați toate soluțiile găsite.

$$y=\frac{3}{2}$$