Rezolvați 8x^2-x-180=0

$$8 x ^ { 2 } - x - 180 = 0$$

Rezolvați pentru x

$$x = \frac{\sqrt{5761} + 1}{16} \approx 4,806328227$$

$$x=\frac{1-\sqrt{5761}}{16}\approx -4,681328227$$

Pași folosind formula rădăcinilor ecuației de gradul al doilea

Toate ecuațiile de forma ax^{2}+bx+c=0 pot fi rezolvate utilizând formula rădăcinilor ecuației de gradul al doilea: \frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a}. Formula rădăcinilor ecuației de gradul al doilea oferă două soluții, una atunci când operația ± este de adunare și una atunci când este de scădere.

$$8x^{2}-x-180=0$$

Această ecuație este în formă standard: ax^{2}+bx+c=0. Înlocuiți a cu 8, b cu -1 și c cu -180 în formula rădăcinilor ecuațiilor de gradul al doilea, \frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a}.

$$x=\frac{-\left(-1\right)±\sqrt{1-4\times 8\left(-180\right)}}{2\times 8}$$

Înmulțiți -4 cu 8.

$$x=\frac{-\left(-1\right)±\sqrt{1-32\left(-180\right)}}{2\times 8}$$

Înmulțiți -32 cu -180.

$$x=\frac{-\left(-1\right)±\sqrt{1+5760}}{2\times 8}$$

Adunați 1 cu 5760.

$$x=\frac{-\left(-1\right)±\sqrt{5761}}{2\times 8}$$

Opusul lui -1 este 1.

$$x=\frac{1±\sqrt{5761}}{2\times 8}$$

Înmulțiți 2 cu 8.

$$x=\frac{1±\sqrt{5761}}{16}$$

Acum rezolvați ecuația x=\frac{1±\sqrt{5761}}{16} atunci când ± este plus. Adunați 1 cu \sqrt{5761}.

$$x=\frac{\sqrt{5761}+1}{16}$$

Acum rezolvați ecuația x=\frac{1±\sqrt{5761}}{16} atunci când ± este minus. Scădeți \sqrt{5761} din 1.

$$x=\frac{1-\sqrt{5761}}{16}$$

Ecuația este rezolvată acum.

$$x=\frac{\sqrt{5761}+1}{16} x=\frac{1-\sqrt{5761}}{16}$$

Pași pentru completarea pătratului

Ecuațiile de gradul doi ca aceasta pot fi rezolvate prin completarea pătratului. Pentru a completa pătratul, ecuația trebuie mai întâi să fie sub forma x^{2}+bx=c.

$$8x^{2}-x-180=0$$

Adunați 180 la ambele părți ale ecuației.

$$8x^{2}-x-180-\left(-180\right)=-\left(-180\right)$$

Scăderea -180 din el însuși are ca rezultat 0.

$$8x^{2}-x=-\left(-180\right)$$

Scădeți -180 din 0.

$$8x^{2}-x=180$$

Se împart ambele părți la 8.

$$\frac{8x^{2}-x}{8}=\frac{180}{8}$$

Împărțirea la 8 anulează înmulțirea cu 8.

$$x^{2}-\frac{1}{8}x=\frac{180}{8}$$

Reduceți fracția \frac{180}{8} la cei mai mici termeni, prin extragerea și reducerea 4.

$$x^{2}-\frac{1}{8}x=\frac{45}{2}$$

Împărțiți -\frac{1}{8}, coeficientul termenului x, la 2 pentru a obține -\frac{1}{16}. Apoi, adunați pătratul lui -\frac{1}{16} la ambele părți ale ecuației. Acest pas face din partea stângă a ecuației un pătrat perfect.

$$x^{2}-\frac{1}{8}x+\left(-\frac{1}{16}\right)^{2}=\frac{45}{2}+\left(-\frac{1}{16}\right)^{2}$$

Ridicați -\frac{1}{16} la pătrat, calculând pătratul pentru numărătorul și numitorul fracției.

$$x^{2}-\frac{1}{8}x+\frac{1}{256}=\frac{45}{2}+\frac{1}{256}$$

Adunați \frac{45}{2} cu \frac{1}{256} găsind un numitor comun și adunând numărătorii. Apoi simplificați fracția până devine ireductibilă, dacă este posibil.

$$x^{2}-\frac{1}{8}x+\frac{1}{256}=\frac{5761}{256}$$

Factor x^{2}-\frac{1}{8}x+\frac{1}{256}. În general, atunci când x^{2}+bx+c este un pătrat perfect, el poate fi descompus în factori oricând ca \left(x+\frac{b}{2}\right)^{2}.

$$\left(x-\frac{1}{16}\right)^{2}=\frac{5761}{256}$$

Aflați rădăcina pătrată pentru ambele părți ale ecuației.

$$\sqrt{\left(x-\frac{1}{16}\right)^{2}}=\sqrt{\frac{5761}{256}}$$

Simplificați.

$$x-\frac{1}{16}=\frac{\sqrt{5761}}{16} x-\frac{1}{16}=-\frac{\sqrt{5761}}{16}$$

Adunați \frac{1}{16} la ambele părți ale ecuației.

$$x=\frac{\sqrt{5761}+1}{16} x=\frac{1-\sqrt{5761}}{16}$$