Rezolvați 8x^2-8x-1=0

$$8 x ^ { 2 } - 8 x - 1 = 0$$

Rezolvați pentru x

$$x=\frac{\sqrt{6}}{4}+\frac{1}{2}\approx 1,112372436$$

$$x=-\frac{\sqrt{6}}{4}+\frac{1}{2}\approx -0,112372436$$

Pași folosind formula rădăcinilor ecuației de gradul al doilea

Toate ecuațiile de forma ax^{2}+bx+c=0 pot fi rezolvate utilizând formula rădăcinilor ecuației de gradul al doilea: \frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a}. Formula rădăcinilor ecuației de gradul al doilea oferă două soluții, una atunci când operația ± este de adunare și una atunci când este de scădere.

$$8x^{2}-8x-1=0$$

Această ecuație este în formă standard: ax^{2}+bx+c=0. Înlocuiți a cu 8, b cu -8 și c cu -1 în formula rădăcinilor ecuațiilor de gradul al doilea, \frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a}.

$$x=\frac{-\left(-8\right)±\sqrt{\left(-8\right)^{2}-4\times 8\left(-1\right)}}{2\times 8}$$

Ridicați -8 la pătrat.

$$x=\frac{-\left(-8\right)±\sqrt{64-4\times 8\left(-1\right)}}{2\times 8}$$

Înmulțiți -4 cu 8.

$$x=\frac{-\left(-8\right)±\sqrt{64-32\left(-1\right)}}{2\times 8}$$

Înmulțiți -32 cu -1.

$$x=\frac{-\left(-8\right)±\sqrt{64+32}}{2\times 8}$$

Adunați 64 cu 32.

$$x=\frac{-\left(-8\right)±\sqrt{96}}{2\times 8}$$

Aflați rădăcina pătrată pentru 96.

$$x=\frac{-\left(-8\right)±4\sqrt{6}}{2\times 8}$$

Opusul lui -8 este 8.

$$x=\frac{8±4\sqrt{6}}{2\times 8}$$

Înmulțiți 2 cu 8.

$$x=\frac{8±4\sqrt{6}}{16}$$

Acum rezolvați ecuația x=\frac{8±4\sqrt{6}}{16} atunci când ± este plus. Adunați 8 cu 4\sqrt{6}.

$$x=\frac{4\sqrt{6}+8}{16}$$

Împărțiți 8+4\sqrt{6} la 16.

$$x=\frac{\sqrt{6}}{4}+\frac{1}{2}$$

Acum rezolvați ecuația x=\frac{8±4\sqrt{6}}{16} atunci când ± este minus. Scădeți 4\sqrt{6} din 8.

$$x=\frac{8-4\sqrt{6}}{16}$$

Împărțiți 8-4\sqrt{6} la 16.

$$x=-\frac{\sqrt{6}}{4}+\frac{1}{2}$$

Ecuația este rezolvată acum.

$$x=\frac{\sqrt{6}}{4}+\frac{1}{2} x=-\frac{\sqrt{6}}{4}+\frac{1}{2}$$

Pași pentru completarea pătratului

Ecuațiile de gradul doi ca aceasta pot fi rezolvate prin completarea pătratului. Pentru a completa pătratul, ecuația trebuie mai întâi să fie sub forma x^{2}+bx=c.

$$8x^{2}-8x-1=0$$

Adunați 1 la ambele părți ale ecuației.

$$8x^{2}-8x-1-\left(-1\right)=-\left(-1\right)$$

Scăderea -1 din el însuși are ca rezultat 0.

$$8x^{2}-8x=-\left(-1\right)$$

Scădeți -1 din 0.

$$8x^{2}-8x=1$$

Se împart ambele părți la 8.

$$\frac{8x^{2}-8x}{8}=\frac{1}{8}$$

Împărțirea la 8 anulează înmulțirea cu 8.

$$x^{2}+\left(-\frac{8}{8}\right)x=\frac{1}{8}$$

Împărțiți -8 la 8.

$$x^{2}-x=\frac{1}{8}$$

Împărțiți -1, coeficientul termenului x, la 2 pentru a obține -\frac{1}{2}. Apoi, adunați pătratul lui -\frac{1}{2} la ambele părți ale ecuației. Acest pas face din partea stângă a ecuației un pătrat perfect.

$$x^{2}-x+\left(-\frac{1}{2}\right)^{2}=\frac{1}{8}+\left(-\frac{1}{2}\right)^{2}$$

Ridicați -\frac{1}{2} la pătrat, calculând pătratul pentru numărătorul și numitorul fracției.

$$x^{2}-x+\frac{1}{4}=\frac{1}{8}+\frac{1}{4}$$

Adunați \frac{1}{8} cu \frac{1}{4} găsind un numitor comun și adunând numărătorii. Apoi simplificați fracția până devine ireductibilă, dacă este posibil.

$$x^{2}-x+\frac{1}{4}=\frac{3}{8}$$

Factorul x^{2}-x+\frac{1}{4}. În general, când x^{2}+bx+c este un pătrat perfect, acesta poate fi descompus întotdeauna în factori ca \left(x+\frac{b}{2}\right)^{2}.

$$\left(x-\frac{1}{2}\right)^{2}=\frac{3}{8}$$

Aflați rădăcina pătrată pentru ambele părți ale ecuației.

$$\sqrt{\left(x-\frac{1}{2}\right)^{2}}=\sqrt{\frac{3}{8}}$$

Simplificați.

$$x-\frac{1}{2}=\frac{\sqrt{6}}{4} x-\frac{1}{2}=-\frac{\sqrt{6}}{4}$$

Adunați \frac{1}{2} la ambele părți ale ecuației.

$$x=\frac{\sqrt{6}}{4}+\frac{1}{2} x=-\frac{\sqrt{6}}{4}+\frac{1}{2}$$