Rezolvați 8x^2-3x=5

$$8 x ^ { 2 } - 3 x = 5$$

Rezolvați pentru x

$$x=-\frac{5}{8}=-0,625$$

$$x=1$$

Pași utilizând descompunerea în factori prin grupare

Scădeți 5 din ambele părți.

$$8x^{2}-3x-5=0$$

Pentru a rezolva ecuația, factor mâna stângă după grupare. Mai întâi, fața la stânga trebuie să fie rescrisă ca 8x^{2}+ax+bx-5. Pentru a găsi a și b, configurați un sistem pentru a fi rezolvat.

$$a+b=-3 ab=8\left(-5\right)=-40$$

Deoarece ab este negativ, a și b au semne opuse. Deoarece a+b este negativ, numărul negativ are o valoare absolută mai mare decât valoarea pozitivă. Listează toate perechi de valori întregi care oferă produse -40.

$$1,-40 2,-20 4,-10 5,-8$$

Calculați suma pentru fiecare pereche.

$$1-40=-39 2-20=-18 4-10=-6 5-8=-3$$

Soluția este perechea care dă suma de -3.

$$a=-8 b=5$$

Rescrieți 8x^{2}-3x-5 ca \left(8x^{2}-8x\right)+\left(5x-5\right).

$$\left(8x^{2}-8x\right)+\left(5x-5\right)$$

Factor 8x în primul și 5 în al doilea grup.

$$8x\left(x-1\right)+5\left(x-1\right)$$

Scoateți termenul comun x-1 prin utilizarea proprietății de distributivitate.

$$\left(x-1\right)\left(8x+5\right)$$

Pentru a găsi soluții de ecuații, rezolvați x-1=0 și 8x+5=0.

$$x=1 x=-\frac{5}{8}$$

Pași folosind formula rădăcinilor ecuației de gradul al doilea

Toate ecuațiile de forma ax^{2}+bx+c=0 pot fi rezolvate utilizând formula rădăcinilor ecuației de gradul al doilea: \frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a}. Formula rădăcinilor ecuației de gradul al doilea oferă două soluții, una atunci când operația ± este de adunare și una atunci când este de scădere.

$$8x^{2}-3x=5$$

Scădeți 5 din ambele părți ale ecuației.

$$8x^{2}-3x-5=5-5$$

Scăderea 5 din el însuși are ca rezultat 0.

$$8x^{2}-3x-5=0$$

Această ecuație este în formă standard: ax^{2}+bx+c=0. Înlocuiți a cu 8, b cu -3 și c cu -5 în formula rădăcinilor ecuațiilor de gradul al doilea, \frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a}.

$$x=\frac{-\left(-3\right)±\sqrt{\left(-3\right)^{2}-4\times 8\left(-5\right)}}{2\times 8}$$

Ridicați -3 la pătrat.

$$x=\frac{-\left(-3\right)±\sqrt{9-4\times 8\left(-5\right)}}{2\times 8}$$

Înmulțiți -4 cu 8.

$$x=\frac{-\left(-3\right)±\sqrt{9-32\left(-5\right)}}{2\times 8}$$

Înmulțiți -32 cu -5.

$$x=\frac{-\left(-3\right)±\sqrt{9+160}}{2\times 8}$$

Adunați 9 cu 160.

$$x=\frac{-\left(-3\right)±\sqrt{169}}{2\times 8}$$

Aflați rădăcina pătrată pentru 169.

$$x=\frac{-\left(-3\right)±13}{2\times 8}$$

Opusul lui -3 este 3.

$$x=\frac{3±13}{2\times 8}$$

Înmulțiți 2 cu 8.

$$x=\frac{3±13}{16}$$

Acum rezolvați ecuația x=\frac{3±13}{16} atunci când ± este plus. Adunați 3 cu 13.

$$x=\frac{16}{16}$$

Împărțiți 16 la 16.

$$x=1$$

Acum rezolvați ecuația x=\frac{3±13}{16} atunci când ± este minus. Scădeți 13 din 3.

$$x=-\frac{10}{16}$$

Reduceți fracția \frac{-10}{16} la cei mai mici termeni, prin extragerea și reducerea 2.

$$x=-\frac{5}{8}$$

Ecuația este rezolvată acum.

$$x=1 x=-\frac{5}{8}$$

Pași pentru completarea pătratului

Ecuațiile de gradul doi ca aceasta pot fi rezolvate prin completarea pătratului. Pentru a completa pătratul, ecuația trebuie mai întâi să fie sub forma x^{2}+bx=c.

$$8x^{2}-3x=5$$

Se împart ambele părți la 8.

$$\frac{8x^{2}-3x}{8}=\frac{5}{8}$$

Împărțirea la 8 anulează înmulțirea cu 8.

$$x^{2}-\frac{3}{8}x=\frac{5}{8}$$

Împărțiți -\frac{3}{8}, coeficientul termenului x, la 2 pentru a obține -\frac{3}{16}. Apoi, adunați pătratul lui -\frac{3}{16} la ambele părți ale ecuației. Acest pas face din partea stângă a ecuației un pătrat perfect.

$$x^{2}-\frac{3}{8}x+\left(-\frac{3}{16}\right)^{2}=\frac{5}{8}+\left(-\frac{3}{16}\right)^{2}$$

Ridicați -\frac{3}{16} la pătrat, calculând pătratul pentru numărătorul și numitorul fracției.

$$x^{2}-\frac{3}{8}x+\frac{9}{256}=\frac{5}{8}+\frac{9}{256}$$

Adunați \frac{5}{8} cu \frac{9}{256} găsind un numitor comun și adunând numărătorii. Apoi simplificați fracția până devine ireductibilă, dacă este posibil.

$$x^{2}-\frac{3}{8}x+\frac{9}{256}=\frac{169}{256}$$

Factor x^{2}-\frac{3}{8}x+\frac{9}{256}. În general, atunci când x^{2}+bx+c este un pătrat perfect, el poate fi descompus în factori oricând ca \left(x+\frac{b}{2}\right)^{2}.

$$\left(x-\frac{3}{16}\right)^{2}=\frac{169}{256}$$

Aflați rădăcina pătrată pentru ambele părți ale ecuației.

$$\sqrt{\left(x-\frac{3}{16}\right)^{2}}=\sqrt{\frac{169}{256}}$$

Simplificați.

$$x-\frac{3}{16}=\frac{13}{16} x-\frac{3}{16}=-\frac{13}{16}$$

Adunați \frac{3}{16} la ambele părți ale ecuației.

$$x=1 x=-\frac{5}{8}$$