Rezolvați 8x^2-24x+14=0

$$8 x ^ { 2 } - 24 x + 14 = 0$$

Rezolvați pentru x

$$x = \frac{\sqrt{2} + 3}{2} \approx 2,207106781$$

$$x=\frac{3-\sqrt{2}}{2}\approx 0,792893219$$

Pași folosind formula rădăcinilor ecuației de gradul al doilea

Toate ecuațiile de forma ax^{2}+bx+c=0 pot fi rezolvate utilizând formula rădăcinilor ecuației de gradul al doilea: \frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a}. Formula rădăcinilor ecuației de gradul al doilea oferă două soluții, una atunci când operația ± este de adunare și una atunci când este de scădere.

$$8x^{2}-24x+14=0$$

Această ecuație este în formă standard: ax^{2}+bx+c=0. Înlocuiți a cu 8, b cu -24 și c cu 14 în formula rădăcinilor ecuațiilor de gradul al doilea, \frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a}.

$$x=\frac{-\left(-24\right)±\sqrt{\left(-24\right)^{2}-4\times 8\times 14}}{2\times 8}$$

Ridicați -24 la pătrat.

$$x=\frac{-\left(-24\right)±\sqrt{576-4\times 8\times 14}}{2\times 8}$$

Înmulțiți -4 cu 8.

$$x=\frac{-\left(-24\right)±\sqrt{576-32\times 14}}{2\times 8}$$

Înmulțiți -32 cu 14.

$$x=\frac{-\left(-24\right)±\sqrt{576-448}}{2\times 8}$$

Adunați 576 cu -448.

$$x=\frac{-\left(-24\right)±\sqrt{128}}{2\times 8}$$

Aflați rădăcina pătrată pentru 128.

$$x=\frac{-\left(-24\right)±8\sqrt{2}}{2\times 8}$$

Opusul lui -24 este 24.

$$x=\frac{24±8\sqrt{2}}{2\times 8}$$

Înmulțiți 2 cu 8.

$$x=\frac{24±8\sqrt{2}}{16}$$

Acum rezolvați ecuația x=\frac{24±8\sqrt{2}}{16} atunci când ± este plus. Adunați 24 cu 8\sqrt{2}.

$$x=\frac{8\sqrt{2}+24}{16}$$

Împărțiți 24+8\sqrt{2} la 16.

$$x=\frac{\sqrt{2}+3}{2}$$

Acum rezolvați ecuația x=\frac{24±8\sqrt{2}}{16} atunci când ± este minus. Scădeți 8\sqrt{2} din 24.

$$x=\frac{24-8\sqrt{2}}{16}$$

Împărțiți 24-8\sqrt{2} la 16.

$$x=\frac{3-\sqrt{2}}{2}$$

Ecuația este rezolvată acum.

$$x=\frac{\sqrt{2}+3}{2} x=\frac{3-\sqrt{2}}{2}$$

Pași pentru completarea pătratului

Ecuațiile de gradul doi ca aceasta pot fi rezolvate prin completarea pătratului. Pentru a completa pătratul, ecuația trebuie mai întâi să fie sub forma x^{2}+bx=c.

$$8x^{2}-24x+14=0$$

Scădeți 14 din ambele părți ale ecuației.

$$8x^{2}-24x+14-14=-14$$

Scăderea 14 din el însuși are ca rezultat 0.

$$8x^{2}-24x=-14$$

Se împart ambele părți la 8.

$$\frac{8x^{2}-24x}{8}=-\frac{14}{8}$$

Împărțirea la 8 anulează înmulțirea cu 8.

$$x^{2}+\left(-\frac{24}{8}\right)x=-\frac{14}{8}$$

Împărțiți -24 la 8.

$$x^{2}-3x=-\frac{14}{8}$$

Reduceți fracția \frac{-14}{8} la cei mai mici termeni, prin extragerea și reducerea 2.

$$x^{2}-3x=-\frac{7}{4}$$

Împărțiți -3, coeficientul termenului x, la 2 pentru a obține -\frac{3}{2}. Apoi, adunați pătratul lui -\frac{3}{2} la ambele părți ale ecuației. Acest pas face din partea stângă a ecuației un pătrat perfect.

$$x^{2}-3x+\left(-\frac{3}{2}\right)^{2}=-\frac{7}{4}+\left(-\frac{3}{2}\right)^{2}$$

Ridicați -\frac{3}{2} la pătrat, calculând pătratul pentru numărătorul și numitorul fracției.

$$x^{2}-3x+\frac{9}{4}=\frac{-7+9}{4}$$

Adunați -\frac{7}{4} cu \frac{9}{4} găsind un numitor comun și adunând numărătorii. Apoi simplificați fracția până devine ireductibilă, dacă este posibil.

$$x^{2}-3x+\frac{9}{4}=\frac{1}{2}$$

Factor x^{2}-3x+\frac{9}{4}. În general, atunci când x^{2}+bx+c este un pătrat perfect, el poate fi descompus în factori oricând ca \left(x+\frac{b}{2}\right)^{2}.

$$\left(x-\frac{3}{2}\right)^{2}=\frac{1}{2}$$

Aflați rădăcina pătrată pentru ambele părți ale ecuației.

$$\sqrt{\left(x-\frac{3}{2}\right)^{2}}=\sqrt{\frac{1}{2}}$$

Simplificați.

$$x-\frac{3}{2}=\frac{\sqrt{2}}{2} x-\frac{3}{2}=-\frac{\sqrt{2}}{2}$$

Adunați \frac{3}{2} la ambele părți ale ecuației.

$$x=\frac{\sqrt{2}+3}{2} x=\frac{3-\sqrt{2}}{2}$$