Rezolvați 8x^2-22x+15

$$8 x ^ { 2 } - 22 x + 15$$

Descompunere în factori

$$\left(2x-3\right)\left(4x-5\right)$$

Pașii soluției

Descompuneți expresia în factori prin grupare. Mai întâi, expresia trebuie să fie rescrisă ca 8x^{2}+ax+bx+15. Pentru a găsi a și b, configurați un sistem pentru a fi rezolvat.

$$a+b=-22 ab=8\times 15=120$$

Deoarece ab este pozitiv, a și b au același semn. Deoarece a+b este negativ, a și b sunt negative. Listează toate perechi de valori întregi care oferă produse 120.

$$-1,-120 -2,-60 -3,-40 -4,-30 -5,-24 -6,-20 -8,-15 -10,-12$$

Calculați suma pentru fiecare pereche.

$$-1-120=-121 -2-60=-62 -3-40=-43 -4-30=-34 -5-24=-29 -6-20=-26 -8-15=-23 -10-12=-22$$

Soluția este perechea care dă suma de -22.

$$a=-12 b=-10$$

Rescrieți 8x^{2}-22x+15 ca \left(8x^{2}-12x\right)+\left(-10x+15\right).

$$\left(8x^{2}-12x\right)+\left(-10x+15\right)$$

Factor 4x în primul și -5 în al doilea grup.

$$4x\left(2x-3\right)-5\left(2x-3\right)$$

Scoateți termenul comun 2x-3 prin utilizarea proprietății de distributivitate.

$$\left(2x-3\right)\left(4x-5\right)$$

Pași folosind formula rădăcinilor ecuației de gradul al doilea

Polinomul de gradul doi se poate descompune în factori folosind transformarea ax^{2}+bx+c=a\left(x-x_{1}\right)\left(x-x_{2}\right), unde x_{1} și x_{2} sunt soluțiile ecuației de gradul doi ax^{2}+bx+c=0.

$$8x^{2}-22x+15=0$$

Toate ecuațiile de forma ax^{2}+bx+c=0 pot fi rezolvate utilizând formula rădăcinilor ecuației de gradul al doilea: \frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a}. Formula rădăcinilor ecuației de gradul al doilea oferă două soluții, una atunci când operația ± este de adunare și una atunci când este de scădere.

$$x=\frac{-\left(-22\right)±\sqrt{\left(-22\right)^{2}-4\times 8\times 15}}{2\times 8}$$

Ridicați -22 la pătrat.

$$x=\frac{-\left(-22\right)±\sqrt{484-4\times 8\times 15}}{2\times 8}$$

Înmulțiți -4 cu 8.

$$x=\frac{-\left(-22\right)±\sqrt{484-32\times 15}}{2\times 8}$$

Înmulțiți -32 cu 15.

$$x=\frac{-\left(-22\right)±\sqrt{484-480}}{2\times 8}$$

Adunați 484 cu -480.

$$x=\frac{-\left(-22\right)±\sqrt{4}}{2\times 8}$$

Aflați rădăcina pătrată pentru 4.

$$x=\frac{-\left(-22\right)±2}{2\times 8}$$

Opusul lui -22 este 22.

$$x=\frac{22±2}{2\times 8}$$

Înmulțiți 2 cu 8.

$$x=\frac{22±2}{16}$$

Acum rezolvați ecuația x=\frac{22±2}{16} atunci când ± este plus. Adunați 22 cu 2.

$$x=\frac{24}{16}$$

Reduceți fracția \frac{24}{16} la cei mai mici termeni, prin extragerea și reducerea 8.

$$x=\frac{3}{2}$$

Acum rezolvați ecuația x=\frac{22±2}{16} atunci când ± este minus. Scădeți 2 din 22.

$$x=\frac{20}{16}$$

Reduceți fracția \frac{20}{16} la cei mai mici termeni, prin extragerea și reducerea 4.

$$x=\frac{5}{4}$$

Descompuneți în factori expresia inițială utilizând ax^{2}+bx+c=a\left(x-x_{1}\right)\left(x-x_{2}\right). Înlocuiți x_{1} cu \frac{3}{2} și x_{2} cu \frac{5}{4}.

$$8x^{2}-22x+15=8\left(x-\frac{3}{2}\right)\left(x-\frac{5}{4}\right)$$

Scădeți \frac{3}{2} din x găsind un numitor comun și scăzând numărătorii. Apoi simplificați fracția până devine ireductibilă, dacă este posibil.

$$8x^{2}-22x+15=8\times \frac{2x-3}{2}\left(x-\frac{5}{4}\right)$$

Scădeți \frac{5}{4} din x găsind un numitor comun și scăzând numărătorii. Apoi simplificați fracția până devine ireductibilă, dacă este posibil.

$$8x^{2}-22x+15=8\times \frac{2x-3}{2}\times \frac{4x-5}{4}$$

Înmulțiți \frac{2x-3}{2} cu \frac{4x-5}{4} prin înmulțirea valorilor de la numărător și a valorilor de la numitor. Apoi simplificați fracția până devine ireductibilă, dacă este posibil.

$$8x^{2}-22x+15=8\times \frac{\left(2x-3\right)\left(4x-5\right)}{2\times 4}$$

Înmulțiți 2 cu 4.

$$8x^{2}-22x+15=8\times \frac{\left(2x-3\right)\left(4x-5\right)}{8}$$

Simplificați cu 8, cel mai mare factor comun din 8 și 8.

$$8x^{2}-22x+15=\left(2x-3\right)\left(4x-5\right)$$

Evaluați

$$\left(2x-3\right)\left(4x-5\right)$$