Rezolvați 8x^2-22x+12

$$8 x ^ { 2 } - 22 x + 12$$

Descompunere în factori

$$2\left(x-2\right)\left(4x-3\right)$$

Pașii soluției

Scoateți factorul comun 2.

$$2\left(4x^{2}-11x+6\right)$$

Să luăm 4x^{2}-11x+6. Descompuneți expresia în factori prin grupare. Mai întâi, expresia trebuie să fie rescrisă ca 4x^{2}+ax+bx+6. Pentru a găsi a și b, configurați un sistem pentru a fi rezolvat.

$$a+b=-11 ab=4\times 6=24$$

Deoarece ab este pozitiv, a și b au același semn. Deoarece a+b este negativ, a și b sunt negative. Listează toate perechi de valori întregi care oferă produse 24.

$$-1,-24 -2,-12 -3,-8 -4,-6$$

Calculați suma pentru fiecare pereche.

$$-1-24=-25 -2-12=-14 -3-8=-11 -4-6=-10$$

Soluția este perechea care dă suma de -11.

$$a=-8 b=-3$$

Rescrieți 4x^{2}-11x+6 ca \left(4x^{2}-8x\right)+\left(-3x+6\right).

$$\left(4x^{2}-8x\right)+\left(-3x+6\right)$$

Factor 4x în primul și -3 în al doilea grup.

$$4x\left(x-2\right)-3\left(x-2\right)$$

Scoateți termenul comun x-2 prin utilizarea proprietății de distributivitate.

$$\left(x-2\right)\left(4x-3\right)$$

Rescrieți expresia completă descompusă în factori.

$$2\left(x-2\right)\left(4x-3\right)$$

Pași folosind formula rădăcinilor ecuației de gradul al doilea

Polinomul de gradul doi se poate descompune în factori folosind transformarea ax^{2}+bx+c=a\left(x-x_{1}\right)\left(x-x_{2}\right), unde x_{1} și x_{2} sunt soluțiile ecuației de gradul doi ax^{2}+bx+c=0.

$$8x^{2}-22x+12=0$$

Toate ecuațiile de forma ax^{2}+bx+c=0 pot fi rezolvate utilizând formula rădăcinilor ecuației de gradul al doilea: \frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a}. Formula rădăcinilor ecuației de gradul al doilea oferă două soluții, una atunci când operația ± este de adunare și una atunci când este de scădere.

$$x=\frac{-\left(-22\right)±\sqrt{\left(-22\right)^{2}-4\times 8\times 12}}{2\times 8}$$

Ridicați -22 la pătrat.

$$x=\frac{-\left(-22\right)±\sqrt{484-4\times 8\times 12}}{2\times 8}$$

Înmulțiți -4 cu 8.

$$x=\frac{-\left(-22\right)±\sqrt{484-32\times 12}}{2\times 8}$$

Înmulțiți -32 cu 12.

$$x=\frac{-\left(-22\right)±\sqrt{484-384}}{2\times 8}$$

Adunați 484 cu -384.

$$x=\frac{-\left(-22\right)±\sqrt{100}}{2\times 8}$$

Aflați rădăcina pătrată pentru 100.

$$x=\frac{-\left(-22\right)±10}{2\times 8}$$

Opusul lui -22 este 22.

$$x=\frac{22±10}{2\times 8}$$

Înmulțiți 2 cu 8.

$$x=\frac{22±10}{16}$$

Acum rezolvați ecuația x=\frac{22±10}{16} atunci când ± este plus. Adunați 22 cu 10.

$$x=\frac{32}{16}$$

Împărțiți 32 la 16.

$$x=2$$

Acum rezolvați ecuația x=\frac{22±10}{16} atunci când ± este minus. Scădeți 10 din 22.

$$x=\frac{12}{16}$$

Reduceți fracția \frac{12}{16} la cei mai mici termeni, prin extragerea și reducerea 4.

$$x=\frac{3}{4}$$

Descompuneți în factori expresia inițială utilizând ax^{2}+bx+c=a\left(x-x_{1}\right)\left(x-x_{2}\right). Înlocuiți x_{1} cu 2 și x_{2} cu \frac{3}{4}.

$$8x^{2}-22x+12=8\left(x-2\right)\left(x-\frac{3}{4}\right)$$

Scădeți \frac{3}{4} din x găsind un numitor comun și scăzând numărătorii. Apoi simplificați fracția până devine ireductibilă, dacă este posibil.

$$8x^{2}-22x+12=8\left(x-2\right)\times \frac{4x-3}{4}$$

Simplificați cu 4, cel mai mare factor comun din 8 și 4.

$$8x^{2}-22x+12=2\left(x-2\right)\left(4x-3\right)$$

Evaluați

$$2\left(x-2\right)\left(4x-3\right)$$