Rezolvați 8x^2-2x-18=-15

$$8 x ^ { 2 } - 2 x - 18 = - 15$$

Rezolvați pentru x

$$x=-\frac{1}{2}=-0,5$$

$$x=\frac{3}{4}=0,75$$

Pași utilizând descompunerea în factori prin grupare

Adăugați 15 la ambele părți.

$$8x^{2}-2x-18+15=0$$

Adunați -18 și 15 pentru a obține -3.

$$8x^{2}-2x-3=0$$

Pentru a rezolva ecuația, factor mâna stângă după grupare. Mai întâi, fața la stânga trebuie să fie rescrisă ca 8x^{2}+ax+bx-3. Pentru a găsi a și b, configurați un sistem pentru a fi rezolvat.

$$a+b=-2 ab=8\left(-3\right)=-24$$

Deoarece ab este negativ, a și b au semne opuse. Deoarece a+b este negativ, numărul negativ are o valoare absolută mai mare decât valoarea pozitivă. Listează toate perechi de valori întregi care oferă produse -24.

$$1,-24 2,-12 3,-8 4,-6$$

Calculați suma pentru fiecare pereche.

$$1-24=-23 2-12=-10 3-8=-5 4-6=-2$$

Soluția este perechea care dă suma de -2.

$$a=-6 b=4$$

Rescrieți 8x^{2}-2x-3 ca \left(8x^{2}-6x\right)+\left(4x-3\right).

$$\left(8x^{2}-6x\right)+\left(4x-3\right)$$

Scoateți factorul comun 2x din 8x^{2}-6x.

$$2x\left(4x-3\right)+4x-3$$

Scoateți termenul comun 4x-3 prin utilizarea proprietății de distributivitate.

$$\left(4x-3\right)\left(2x+1\right)$$

Pentru a găsi soluții de ecuații, rezolvați 4x-3=0 și 2x+1=0.

$$x=\frac{3}{4} x=-\frac{1}{2}$$

Pași folosind formula rădăcinilor ecuației de gradul al doilea

Toate ecuațiile de forma ax^{2}+bx+c=0 pot fi rezolvate utilizând formula rădăcinilor ecuației de gradul al doilea: \frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a}. Formula rădăcinilor ecuației de gradul al doilea oferă două soluții, una atunci când operația ± este de adunare și una atunci când este de scădere.

$$8x^{2}-2x-18=-15$$

Adunați 15 la ambele părți ale ecuației.

$$8x^{2}-2x-18-\left(-15\right)=-15-\left(-15\right)$$

Scăderea -15 din el însuși are ca rezultat 0.

$$8x^{2}-2x-18-\left(-15\right)=0$$

Scădeți -15 din -18.

$$8x^{2}-2x-3=0$$

Această ecuație este în formă standard: ax^{2}+bx+c=0. Înlocuiți a cu 8, b cu -2 și c cu -3 în formula rădăcinilor ecuațiilor de gradul al doilea, \frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a}.

$$x=\frac{-\left(-2\right)±\sqrt{\left(-2\right)^{2}-4\times 8\left(-3\right)}}{2\times 8}$$

Ridicați -2 la pătrat.

$$x=\frac{-\left(-2\right)±\sqrt{4-4\times 8\left(-3\right)}}{2\times 8}$$

Înmulțiți -4 cu 8.

$$x=\frac{-\left(-2\right)±\sqrt{4-32\left(-3\right)}}{2\times 8}$$

Înmulțiți -32 cu -3.

$$x=\frac{-\left(-2\right)±\sqrt{4+96}}{2\times 8}$$

Adunați 4 cu 96.

$$x=\frac{-\left(-2\right)±\sqrt{100}}{2\times 8}$$

Aflați rădăcina pătrată pentru 100.

$$x=\frac{-\left(-2\right)±10}{2\times 8}$$

Opusul lui -2 este 2.

$$x=\frac{2±10}{2\times 8}$$

Înmulțiți 2 cu 8.

$$x=\frac{2±10}{16}$$

Acum rezolvați ecuația x=\frac{2±10}{16} atunci când ± este plus. Adunați 2 cu 10.

$$x=\frac{12}{16}$$

Reduceți fracția \frac{12}{16} la cei mai mici termeni, prin extragerea și reducerea 4.

$$x=\frac{3}{4}$$

Acum rezolvați ecuația x=\frac{2±10}{16} atunci când ± este minus. Scădeți 10 din 2.

$$x=-\frac{8}{16}$$

Reduceți fracția \frac{-8}{16} la cei mai mici termeni, prin extragerea și reducerea 8.

$$x=-\frac{1}{2}$$

Ecuația este rezolvată acum.

$$x=\frac{3}{4} x=-\frac{1}{2}$$

Pași pentru completarea pătratului

Ecuațiile de gradul doi ca aceasta pot fi rezolvate prin completarea pătratului. Pentru a completa pătratul, ecuația trebuie mai întâi să fie sub forma x^{2}+bx=c.

$$8x^{2}-2x-18=-15$$

Adunați 18 la ambele părți ale ecuației.

$$8x^{2}-2x-18-\left(-18\right)=-15-\left(-18\right)$$

Scăderea -18 din el însuși are ca rezultat 0.

$$8x^{2}-2x=-15-\left(-18\right)$$

Scădeți -18 din -15.

$$8x^{2}-2x=3$$

Se împart ambele părți la 8.

$$\frac{8x^{2}-2x}{8}=\frac{3}{8}$$

Împărțirea la 8 anulează înmulțirea cu 8.

$$x^{2}+\left(-\frac{2}{8}\right)x=\frac{3}{8}$$

Reduceți fracția \frac{-2}{8} la cei mai mici termeni, prin extragerea și reducerea 2.

$$x^{2}-\frac{1}{4}x=\frac{3}{8}$$

Împărțiți -\frac{1}{4}, coeficientul termenului x, la 2 pentru a obține -\frac{1}{8}. Apoi, adunați pătratul lui -\frac{1}{8} la ambele părți ale ecuației. Acest pas face din partea stângă a ecuației un pătrat perfect.

$$x^{2}-\frac{1}{4}x+\left(-\frac{1}{8}\right)^{2}=\frac{3}{8}+\left(-\frac{1}{8}\right)^{2}$$

Ridicați -\frac{1}{8} la pătrat, calculând pătratul pentru numărătorul și numitorul fracției.

$$x^{2}-\frac{1}{4}x+\frac{1}{64}=\frac{3}{8}+\frac{1}{64}$$

Adunați \frac{3}{8} cu \frac{1}{64} găsind un numitor comun și adunând numărătorii. Apoi simplificați fracția până devine ireductibilă, dacă este posibil.

$$x^{2}-\frac{1}{4}x+\frac{1}{64}=\frac{25}{64}$$

Factor x^{2}-\frac{1}{4}x+\frac{1}{64}. În general, atunci când x^{2}+bx+c este un pătrat perfect, el poate fi descompus în factori oricând ca \left(x+\frac{b}{2}\right)^{2}.

$$\left(x-\frac{1}{8}\right)^{2}=\frac{25}{64}$$

Aflați rădăcina pătrată pentru ambele părți ale ecuației.

$$\sqrt{\left(x-\frac{1}{8}\right)^{2}}=\sqrt{\frac{25}{64}}$$

Simplificați.

$$x-\frac{1}{8}=\frac{5}{8} x-\frac{1}{8}=-\frac{5}{8}$$

Adunați \frac{1}{8} la ambele părți ale ecuației.

$$x=\frac{3}{4} x=-\frac{1}{2}$$