Rezolvați 8x^2-2x+1=0

$$8 x ^ { 2 } - 2 x + 1 = 0$$

Rezolvați pentru x (complex solution)

$$x=\frac{1+\sqrt{7}i}{8}\approx 0,125+0,330718914i$$

$$x=\frac{-\sqrt{7}i+1}{8}\approx 0,125-0,330718914i$$

Pași folosind formula rădăcinilor ecuației de gradul al doilea

Toate ecuațiile de forma ax^{2}+bx+c=0 pot fi rezolvate utilizând formula rădăcinilor ecuației de gradul al doilea: \frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a}. Formula rădăcinilor ecuației de gradul al doilea oferă două soluții, una atunci când operația ± este de adunare și una atunci când este de scădere.

$$8x^{2}-2x+1=0$$

Această ecuație este în formă standard: ax^{2}+bx+c=0. Înlocuiți a cu 8, b cu -2 și c cu 1 în formula rădăcinilor ecuațiilor de gradul al doilea, \frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a}.

$$x=\frac{-\left(-2\right)±\sqrt{\left(-2\right)^{2}-4\times 8}}{2\times 8}$$

Ridicați -2 la pătrat.

$$x=\frac{-\left(-2\right)±\sqrt{4-4\times 8}}{2\times 8}$$

Înmulțiți -4 cu 8.

$$x=\frac{-\left(-2\right)±\sqrt{4-32}}{2\times 8}$$

Adunați 4 cu -32.

$$x=\frac{-\left(-2\right)±\sqrt{-28}}{2\times 8}$$

Aflați rădăcina pătrată pentru -28.

$$x=\frac{-\left(-2\right)±2\sqrt{7}i}{2\times 8}$$

Opusul lui -2 este 2.

$$x=\frac{2±2\sqrt{7}i}{2\times 8}$$

Înmulțiți 2 cu 8.

$$x=\frac{2±2\sqrt{7}i}{16}$$

Acum rezolvați ecuația x=\frac{2±2\sqrt{7}i}{16} atunci când ± este plus. Adunați 2 cu 2i\sqrt{7}.

$$x=\frac{2+2\sqrt{7}i}{16}$$

Împărțiți 2+2i\sqrt{7} la 16.

$$x=\frac{1+\sqrt{7}i}{8}$$

Acum rezolvați ecuația x=\frac{2±2\sqrt{7}i}{16} atunci când ± este minus. Scădeți 2i\sqrt{7} din 2.

$$x=\frac{-2\sqrt{7}i+2}{16}$$

Împărțiți 2-2i\sqrt{7} la 16.

$$x=\frac{-\sqrt{7}i+1}{8}$$

Ecuația este rezolvată acum.

$$x=\frac{1+\sqrt{7}i}{8} x=\frac{-\sqrt{7}i+1}{8}$$

Pași pentru completarea pătratului

Ecuațiile de gradul doi ca aceasta pot fi rezolvate prin completarea pătratului. Pentru a completa pătratul, ecuația trebuie mai întâi să fie sub forma x^{2}+bx=c.

$$8x^{2}-2x+1=0$$

Scădeți 1 din ambele părți ale ecuației.

$$8x^{2}-2x+1-1=-1$$

Scăderea 1 din el însuși are ca rezultat 0.

$$8x^{2}-2x=-1$$

Se împart ambele părți la 8.

$$\frac{8x^{2}-2x}{8}=-\frac{1}{8}$$

Împărțirea la 8 anulează înmulțirea cu 8.

$$x^{2}+\left(-\frac{2}{8}\right)x=-\frac{1}{8}$$

Reduceți fracția \frac{-2}{8} la cei mai mici termeni, prin extragerea și reducerea 2.

$$x^{2}-\frac{1}{4}x=-\frac{1}{8}$$

Împărțiți -\frac{1}{4}, coeficientul termenului x, la 2 pentru a obține -\frac{1}{8}. Apoi, adunați pătratul lui -\frac{1}{8} la ambele părți ale ecuației. Acest pas face din partea stângă a ecuației un pătrat perfect.

$$x^{2}-\frac{1}{4}x+\left(-\frac{1}{8}\right)^{2}=-\frac{1}{8}+\left(-\frac{1}{8}\right)^{2}$$

Ridicați -\frac{1}{8} la pătrat, calculând pătratul pentru numărătorul și numitorul fracției.

$$x^{2}-\frac{1}{4}x+\frac{1}{64}=-\frac{1}{8}+\frac{1}{64}$$

Adunați -\frac{1}{8} cu \frac{1}{64} găsind un numitor comun și adunând numărătorii. Apoi simplificați fracția până devine ireductibilă, dacă este posibil.

$$x^{2}-\frac{1}{4}x+\frac{1}{64}=-\frac{7}{64}$$

Factor x^{2}-\frac{1}{4}x+\frac{1}{64}. În general, atunci când x^{2}+bx+c este un pătrat perfect, el poate fi descompus în factori oricând ca \left(x+\frac{b}{2}\right)^{2}.

$$\left(x-\frac{1}{8}\right)^{2}=-\frac{7}{64}$$

Aflați rădăcina pătrată pentru ambele părți ale ecuației.

$$\sqrt{\left(x-\frac{1}{8}\right)^{2}}=\sqrt{-\frac{7}{64}}$$

Simplificați.

$$x-\frac{1}{8}=\frac{\sqrt{7}i}{8} x-\frac{1}{8}=-\frac{\sqrt{7}i}{8}$$

Adunați \frac{1}{8} la ambele părți ale ecuației.

$$x=\frac{1+\sqrt{7}i}{8} x=\frac{-\sqrt{7}i+1}{8}$$