Rezolvați 8x^2+24x+3=0

$$8 x ^ { 2 } + 24 x + 3 = 0$$

Rezolvați pentru x

$$x=\frac{\sqrt{30}}{4}-\frac{3}{2}\approx -0,130693606$$

$$x=-\frac{\sqrt{30}}{4}-\frac{3}{2}\approx -2,869306394$$

Pași folosind formula rădăcinilor ecuației de gradul al doilea

Toate ecuațiile de forma ax^{2}+bx+c=0 pot fi rezolvate utilizând formula rădăcinilor ecuației de gradul al doilea: \frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a}. Formula rădăcinilor ecuației de gradul al doilea oferă două soluții, una atunci când operația ± este de adunare și una atunci când este de scădere.

$$8x^{2}+24x+3=0$$

Această ecuație este în formă standard: ax^{2}+bx+c=0. Înlocuiți a cu 8, b cu 24 și c cu 3 în formula rădăcinilor ecuațiilor de gradul al doilea, \frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a}.

$$x=\frac{-24±\sqrt{24^{2}-4\times 8\times 3}}{2\times 8}$$

Ridicați 24 la pătrat.

$$x=\frac{-24±\sqrt{576-4\times 8\times 3}}{2\times 8}$$

Înmulțiți -4 cu 8.

$$x=\frac{-24±\sqrt{576-32\times 3}}{2\times 8}$$

Înmulțiți -32 cu 3.

$$x=\frac{-24±\sqrt{576-96}}{2\times 8}$$

Adunați 576 cu -96.

$$x=\frac{-24±\sqrt{480}}{2\times 8}$$

Aflați rădăcina pătrată pentru 480.

$$x=\frac{-24±4\sqrt{30}}{2\times 8}$$

Înmulțiți 2 cu 8.

$$x=\frac{-24±4\sqrt{30}}{16}$$

Acum rezolvați ecuația x=\frac{-24±4\sqrt{30}}{16} atunci când ± este plus. Adunați -24 cu 4\sqrt{30}.

$$x=\frac{4\sqrt{30}-24}{16}$$

Împărțiți -24+4\sqrt{30} la 16.

$$x=\frac{\sqrt{30}}{4}-\frac{3}{2}$$

Acum rezolvați ecuația x=\frac{-24±4\sqrt{30}}{16} atunci când ± este minus. Scădeți 4\sqrt{30} din -24.

$$x=\frac{-4\sqrt{30}-24}{16}$$

Împărțiți -24-4\sqrt{30} la 16.

$$x=-\frac{\sqrt{30}}{4}-\frac{3}{2}$$

Ecuația este rezolvată acum.

$$x=\frac{\sqrt{30}}{4}-\frac{3}{2} x=-\frac{\sqrt{30}}{4}-\frac{3}{2}$$

Pași pentru completarea pătratului

Ecuațiile de gradul doi ca aceasta pot fi rezolvate prin completarea pătratului. Pentru a completa pătratul, ecuația trebuie mai întâi să fie sub forma x^{2}+bx=c.

$$8x^{2}+24x+3=0$$

Scădeți 3 din ambele părți ale ecuației.

$$8x^{2}+24x+3-3=-3$$

Scăderea 3 din el însuși are ca rezultat 0.

$$8x^{2}+24x=-3$$

Se împart ambele părți la 8.

$$\frac{8x^{2}+24x}{8}=-\frac{3}{8}$$

Împărțirea la 8 anulează înmulțirea cu 8.

$$x^{2}+\frac{24}{8}x=-\frac{3}{8}$$

Împărțiți 24 la 8.

$$x^{2}+3x=-\frac{3}{8}$$

Împărțiți 3, coeficientul termenului x, la 2 pentru a obține \frac{3}{2}. Apoi, adunați pătratul lui \frac{3}{2} la ambele părți ale ecuației. Acest pas face din partea stângă a ecuației un pătrat perfect.

$$x^{2}+3x+\left(\frac{3}{2}\right)^{2}=-\frac{3}{8}+\left(\frac{3}{2}\right)^{2}$$

Ridicați \frac{3}{2} la pătrat, calculând pătratul pentru numărătorul și numitorul fracției.

$$x^{2}+3x+\frac{9}{4}=-\frac{3}{8}+\frac{9}{4}$$

Adunați -\frac{3}{8} cu \frac{9}{4} găsind un numitor comun și adunând numărătorii. Apoi simplificați fracția până devine ireductibilă, dacă este posibil.

$$x^{2}+3x+\frac{9}{4}=\frac{15}{8}$$

Factor x^{2}+3x+\frac{9}{4}. În general, atunci când x^{2}+bx+c este un pătrat perfect, el poate fi descompus în factori oricând ca \left(x+\frac{b}{2}\right)^{2}.

$$\left(x+\frac{3}{2}\right)^{2}=\frac{15}{8}$$

Aflați rădăcina pătrată pentru ambele părți ale ecuației.

$$\sqrt{\left(x+\frac{3}{2}\right)^{2}}=\sqrt{\frac{15}{8}}$$

Simplificați.

$$x+\frac{3}{2}=\frac{\sqrt{30}}{4} x+\frac{3}{2}=-\frac{\sqrt{30}}{4}$$

Scădeți \frac{3}{2} din ambele părți ale ecuației.

$$x=\frac{\sqrt{30}}{4}-\frac{3}{2} x=-\frac{\sqrt{30}}{4}-\frac{3}{2}$$