Rezolvați 8x^2+10x-7=0

$$8 x ^ { 2 } + 10 x - 7 = 0$$

Rezolvați pentru x

$$x = -\frac{7}{4} = -1\frac{3}{4} = -1,75$$

$$x=\frac{1}{2}=0,5$$

Pași utilizând descompunerea în factori prin grupare

Pentru a rezolva ecuația, descompuneți în factori partea stângă prin grupare. În primul rând, partea stângă trebuie să fie rescrisă ca 8x^{2}+ax+bx-7. Pentru a găsi a și b, configurați un sistem care să fie rezolvat.

$$a+b=10 ab=8\left(-7\right)=-56$$

Deoarece ab este negativ, a și b au semne opuse. Deoarece a+b este pozitiv, numărul pozitiv are o valoare absolută mai mare decât negativul. Enumerați toate perechile întregi care oferă -56 de produs.

$$-1,56 -2,28 -4,14 -7,8$$

Calculați suma pentru fiecare pereche.

$$-1+56=55 -2+28=26 -4+14=10 -7+8=1$$

Soluția este perechea care dă suma de 10.

$$a=-4 b=14$$

Rescrieți 8x^{2}+10x-7 ca \left(8x^{2}-4x\right)+\left(14x-7\right).

$$\left(8x^{2}-4x\right)+\left(14x-7\right)$$

Scoateți scoateți factorul 4x din primul și 7 din cel de-al doilea grup.

$$4x\left(2x-1\right)+7\left(2x-1\right)$$

Scoateți termenul comun 2x-1 prin utilizarea proprietății de distributivitate.

$$\left(2x-1\right)\left(4x+7\right)$$

Pentru a găsi soluții de ecuație, rezolvați 2x-1=0 și 4x+7=0.

$$x=\frac{1}{2} x=-\frac{7}{4}$$

Pași folosind formula rădăcinilor ecuației de gradul al doilea

Toate ecuațiile de forma ax^{2}+bx+c=0 pot fi rezolvate utilizând formula rădăcinilor ecuației de gradul al doilea: \frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a}. Formula rădăcinilor ecuației de gradul al doilea oferă două soluții, una atunci când operația ± este de adunare și una atunci când este de scădere.

$$8x^{2}+10x-7=0$$

Această ecuație este în formă standard: ax^{2}+bx+c=0. Înlocuiți a cu 8, b cu 10 și c cu -7 în formula rădăcinilor ecuațiilor de gradul al doilea, \frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a}.

$$x=\frac{-10±\sqrt{10^{2}-4\times 8\left(-7\right)}}{2\times 8}$$

Ridicați 10 la pătrat.

$$x=\frac{-10±\sqrt{100-4\times 8\left(-7\right)}}{2\times 8}$$

Înmulțiți -4 cu 8.

$$x=\frac{-10±\sqrt{100-32\left(-7\right)}}{2\times 8}$$

Înmulțiți -32 cu -7.

$$x=\frac{-10±\sqrt{100+224}}{2\times 8}$$

Adunați 100 cu 224.

$$x=\frac{-10±\sqrt{324}}{2\times 8}$$

Aflați rădăcina pătrată pentru 324.

$$x=\frac{-10±18}{2\times 8}$$

Înmulțiți 2 cu 8.

$$x=\frac{-10±18}{16}$$

Acum rezolvați ecuația x=\frac{-10±18}{16} atunci când ± este plus. Adunați -10 cu 18.

$$x=\frac{8}{16}$$

Reduceți fracția \frac{8}{16} la cei mai mici termeni, prin extragerea și reducerea 8.

$$x=\frac{1}{2}$$

Acum rezolvați ecuația x=\frac{-10±18}{16} atunci când ± este minus. Scădeți 18 din -10.

$$x=-\frac{28}{16}$$

Reduceți fracția \frac{-28}{16} la cei mai mici termeni, prin extragerea și reducerea 4.

$$x=-\frac{7}{4}$$

Ecuația este rezolvată acum.

$$x=\frac{1}{2} x=-\frac{7}{4}$$

Pași pentru completarea pătratului

Ecuațiile de gradul doi ca aceasta pot fi rezolvate prin completarea pătratului. Pentru a completa pătratul, ecuația trebuie mai întâi să fie sub forma x^{2}+bx=c.

$$8x^{2}+10x-7=0$$

Adunați 7 la ambele părți ale ecuației.

$$8x^{2}+10x-7-\left(-7\right)=-\left(-7\right)$$

Scăderea -7 din el însuși are ca rezultat 0.

$$8x^{2}+10x=-\left(-7\right)$$

Scădeți -7 din 0.

$$8x^{2}+10x=7$$

Se împart ambele părți la 8.

$$\frac{8x^{2}+10x}{8}=\frac{7}{8}$$

Împărțirea la 8 anulează înmulțirea cu 8.

$$x^{2}+\frac{10}{8}x=\frac{7}{8}$$

Reduceți fracția \frac{10}{8} la cei mai mici termeni, prin extragerea și reducerea 2.

$$x^{2}+\frac{5}{4}x=\frac{7}{8}$$

Împărțiți \frac{5}{4}, coeficientul termenului x, la 2 pentru a obține \frac{5}{8}. Apoi, adunați pătratul lui \frac{5}{8} la ambele părți ale ecuației. Acest pas face din partea stângă a ecuației un pătrat perfect.

$$x^{2}+\frac{5}{4}x+\left(\frac{5}{8}\right)^{2}=\frac{7}{8}+\left(\frac{5}{8}\right)^{2}$$

Ridicați \frac{5}{8} la pătrat, calculând pătratul pentru numărătorul și numitorul fracției.

$$x^{2}+\frac{5}{4}x+\frac{25}{64}=\frac{7}{8}+\frac{25}{64}$$

Adunați \frac{7}{8} cu \frac{25}{64} găsind un numitor comun și adunând numărătorii. Apoi simplificați fracția până devine ireductibilă, dacă este posibil.

$$x^{2}+\frac{5}{4}x+\frac{25}{64}=\frac{81}{64}$$

Factorul x^{2}+\frac{5}{4}x+\frac{25}{64}. În general, când x^{2}+bx+c este un pătrat perfect, acesta poate fi descompus întotdeauna în factori ca \left(x+\frac{b}{2}\right)^{2}.

$$\left(x+\frac{5}{8}\right)^{2}=\frac{81}{64}$$

Aflați rădăcina pătrată pentru ambele părți ale ecuației.

$$\sqrt{\left(x+\frac{5}{8}\right)^{2}}=\sqrt{\frac{81}{64}}$$

Simplificați.

$$x+\frac{5}{8}=\frac{9}{8} x+\frac{5}{8}=-\frac{9}{8}$$

Scădeți \frac{5}{8} din ambele părți ale ecuației.

$$x=\frac{1}{2} x=-\frac{7}{4}$$