Rezolvați 8x^2+10x-25=0

$$8 x ^ { 2 } + 10 x - 25 = 0$$

Rezolvați pentru x

$$x = -\frac{5}{2} = -2\frac{1}{2} = -2,5$$

$$x = \frac{5}{4} = 1\frac{1}{4} = 1,25$$

Pași utilizând descompunerea în factori prin grupare

Pentru a rezolva ecuația, factor mâna stângă după grupare. Mai întâi, fața la stânga trebuie să fie rescrisă ca 8x^{2}+ax+bx-25. Pentru a găsi a și b, configurați un sistem pentru a fi rezolvat.

$$a+b=10 ab=8\left(-25\right)=-200$$

Deoarece ab este negativ, a și b au semne opuse. Deoarece a+b este pozitiv, numărul pozitiv are o valoare absolută mai mare decât valoarea negativă. Listează toate perechi de valori întregi care oferă produse -200.

$$-1,200 -2,100 -4,50 -5,40 -8,25 -10,20$$

Calculați suma pentru fiecare pereche.

$$-1+200=199 -2+100=98 -4+50=46 -5+40=35 -8+25=17 -10+20=10$$

Soluția este perechea care dă suma de 10.

$$a=-10 b=20$$

Rescrieți 8x^{2}+10x-25 ca \left(8x^{2}-10x\right)+\left(20x-25\right).

$$\left(8x^{2}-10x\right)+\left(20x-25\right)$$

Factor 2x în primul și 5 în al doilea grup.

$$2x\left(4x-5\right)+5\left(4x-5\right)$$

Scoateți termenul comun 4x-5 prin utilizarea proprietății de distributivitate.

$$\left(4x-5\right)\left(2x+5\right)$$

Pentru a găsi soluții de ecuații, rezolvați 4x-5=0 și 2x+5=0.

$$x=\frac{5}{4} x=-\frac{5}{2}$$

Pași folosind formula rădăcinilor ecuației de gradul al doilea

Toate ecuațiile de forma ax^{2}+bx+c=0 pot fi rezolvate utilizând formula rădăcinilor ecuației de gradul al doilea: \frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a}. Formula rădăcinilor ecuației de gradul al doilea oferă două soluții, una atunci când operația ± este de adunare și una atunci când este de scădere.

$$8x^{2}+10x-25=0$$

Această ecuație este în formă standard: ax^{2}+bx+c=0. Înlocuiți a cu 8, b cu 10 și c cu -25 în formula rădăcinilor ecuațiilor de gradul al doilea, \frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a}.

$$x=\frac{-10±\sqrt{10^{2}-4\times 8\left(-25\right)}}{2\times 8}$$

Ridicați 10 la pătrat.

$$x=\frac{-10±\sqrt{100-4\times 8\left(-25\right)}}{2\times 8}$$

Înmulțiți -4 cu 8.

$$x=\frac{-10±\sqrt{100-32\left(-25\right)}}{2\times 8}$$

Înmulțiți -32 cu -25.

$$x=\frac{-10±\sqrt{100+800}}{2\times 8}$$

Adunați 100 cu 800.

$$x=\frac{-10±\sqrt{900}}{2\times 8}$$

Aflați rădăcina pătrată pentru 900.

$$x=\frac{-10±30}{2\times 8}$$

Înmulțiți 2 cu 8.

$$x=\frac{-10±30}{16}$$

Acum rezolvați ecuația x=\frac{-10±30}{16} atunci când ± este plus. Adunați -10 cu 30.

$$x=\frac{20}{16}$$

Reduceți fracția \frac{20}{16} la cei mai mici termeni, prin extragerea și reducerea 4.

$$x=\frac{5}{4}$$

Acum rezolvați ecuația x=\frac{-10±30}{16} atunci când ± este minus. Scădeți 30 din -10.

$$x=-\frac{40}{16}$$

Reduceți fracția \frac{-40}{16} la cei mai mici termeni, prin extragerea și reducerea 8.

$$x=-\frac{5}{2}$$

Ecuația este rezolvată acum.

$$x=\frac{5}{4} x=-\frac{5}{2}$$

Pași pentru completarea pătratului

Ecuațiile de gradul doi ca aceasta pot fi rezolvate prin completarea pătratului. Pentru a completa pătratul, ecuația trebuie mai întâi să fie sub forma x^{2}+bx=c.

$$8x^{2}+10x-25=0$$

Adunați 25 la ambele părți ale ecuației.

$$8x^{2}+10x-25-\left(-25\right)=-\left(-25\right)$$

Scăderea -25 din el însuși are ca rezultat 0.

$$8x^{2}+10x=-\left(-25\right)$$

Scădeți -25 din 0.

$$8x^{2}+10x=25$$

Se împart ambele părți la 8.

$$\frac{8x^{2}+10x}{8}=\frac{25}{8}$$

Împărțirea la 8 anulează înmulțirea cu 8.

$$x^{2}+\frac{10}{8}x=\frac{25}{8}$$

Reduceți fracția \frac{10}{8} la cei mai mici termeni, prin extragerea și reducerea 2.

$$x^{2}+\frac{5}{4}x=\frac{25}{8}$$

Împărțiți \frac{5}{4}, coeficientul termenului x, la 2 pentru a obține \frac{5}{8}. Apoi, adunați pătratul lui \frac{5}{8} la ambele părți ale ecuației. Acest pas face din partea stângă a ecuației un pătrat perfect.

$$x^{2}+\frac{5}{4}x+\left(\frac{5}{8}\right)^{2}=\frac{25}{8}+\left(\frac{5}{8}\right)^{2}$$

Ridicați \frac{5}{8} la pătrat, calculând pătratul pentru numărătorul și numitorul fracției.

$$x^{2}+\frac{5}{4}x+\frac{25}{64}=\frac{25}{8}+\frac{25}{64}$$

Adunați \frac{25}{8} cu \frac{25}{64} găsind un numitor comun și adunând numărătorii. Apoi simplificați fracția până devine ireductibilă, dacă este posibil.

$$x^{2}+\frac{5}{4}x+\frac{25}{64}=\frac{225}{64}$$

Factor x^{2}+\frac{5}{4}x+\frac{25}{64}. În general, atunci când x^{2}+bx+c este un pătrat perfect, el poate fi descompus în factori oricând ca \left(x+\frac{b}{2}\right)^{2}.

$$\left(x+\frac{5}{8}\right)^{2}=\frac{225}{64}$$

Aflați rădăcina pătrată pentru ambele părți ale ecuației.

$$\sqrt{\left(x+\frac{5}{8}\right)^{2}}=\sqrt{\frac{225}{64}}$$

Simplificați.

$$x+\frac{5}{8}=\frac{15}{8} x+\frac{5}{8}=-\frac{15}{8}$$

Scădeți \frac{5}{8} din ambele părți ale ecuației.

$$x=\frac{5}{4} x=-\frac{5}{2}$$