Rezolvați 8v^2+26v+15

$$8 v ^ { 2 } + 26 v + 15$$

Descompunere în factori

$$\left(2v+5\right)\left(4v+3\right)$$

Pașii soluției

Descompuneți expresia în factori prin grupare. Mai întâi, expresia trebuie să fie rescrisă ca 8v^{2}+av+bv+15. Pentru a găsi a și b, configurați un sistem pentru a fi rezolvat.

$$a+b=26 ab=8\times 15=120$$

Deoarece ab este pozitiv, a și b au același semn. Deoarece a+b este pozitiv, a și b sunt ambele pozitive. Listează toate perechi de valori întregi care oferă produse 120.

$$1,120 2,60 3,40 4,30 5,24 6,20 8,15 10,12$$

Calculați suma pentru fiecare pereche.

$$1+120=121 2+60=62 3+40=43 4+30=34 5+24=29 6+20=26 8+15=23 10+12=22$$

Soluția este perechea care dă suma de 26.

$$a=6 b=20$$

Rescrieți 8v^{2}+26v+15 ca \left(8v^{2}+6v\right)+\left(20v+15\right).

$$\left(8v^{2}+6v\right)+\left(20v+15\right)$$

Factor 2v în primul și 5 în al doilea grup.

$$2v\left(4v+3\right)+5\left(4v+3\right)$$

Scoateți termenul comun 4v+3 prin utilizarea proprietății de distributivitate.

$$\left(4v+3\right)\left(2v+5\right)$$

Pași folosind formula rădăcinilor ecuației de gradul al doilea

Polinomul de gradul doi se poate descompune în factori folosind transformarea ax^{2}+bx+c=a\left(x-x_{1}\right)\left(x-x_{2}\right), unde x_{1} și x_{2} sunt soluțiile ecuației de gradul doi ax^{2}+bx+c=0.

$$8v^{2}+26v+15=0$$

Toate ecuațiile de forma ax^{2}+bx+c=0 pot fi rezolvate utilizând formula rădăcinilor ecuației de gradul al doilea: \frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a}. Formula rădăcinilor ecuației de gradul al doilea oferă două soluții, una atunci când operația ± este de adunare și una atunci când este de scădere.

$$v=\frac{-26±\sqrt{26^{2}-4\times 8\times 15}}{2\times 8}$$

Ridicați 26 la pătrat.

$$v=\frac{-26±\sqrt{676-4\times 8\times 15}}{2\times 8}$$

Înmulțiți -4 cu 8.

$$v=\frac{-26±\sqrt{676-32\times 15}}{2\times 8}$$

Înmulțiți -32 cu 15.

$$v=\frac{-26±\sqrt{676-480}}{2\times 8}$$

Adunați 676 cu -480.

$$v=\frac{-26±\sqrt{196}}{2\times 8}$$

Aflați rădăcina pătrată pentru 196.

$$v=\frac{-26±14}{2\times 8}$$

Înmulțiți 2 cu 8.

$$v=\frac{-26±14}{16}$$

Acum rezolvați ecuația v=\frac{-26±14}{16} atunci când ± este plus. Adunați -26 cu 14.

$$v=-\frac{12}{16}$$

Reduceți fracția \frac{-12}{16} la cei mai mici termeni, prin extragerea și reducerea 4.

$$v=-\frac{3}{4}$$

Acum rezolvați ecuația v=\frac{-26±14}{16} atunci când ± este minus. Scădeți 14 din -26.

$$v=-\frac{40}{16}$$

Reduceți fracția \frac{-40}{16} la cei mai mici termeni, prin extragerea și reducerea 8.

$$v=-\frac{5}{2}$$

Descompuneți în factori expresia inițială utilizând ax^{2}+bx+c=a\left(x-x_{1}\right)\left(x-x_{2}\right). Înlocuiți x_{1} cu -\frac{3}{4} și x_{2} cu -\frac{5}{2}.

$$8v^{2}+26v+15=8\left(v-\left(-\frac{3}{4}\right)\right)\left(v-\left(-\frac{5}{2}\right)\right)$$

Simplificați toate expresiile formei p-\left(-q\right) la p+q.

$$8v^{2}+26v+15=8\left(v+\frac{3}{4}\right)\left(v+\frac{5}{2}\right)$$

Adunați \frac{3}{4} cu v găsind un numitor comun și adunând numărătorii. Apoi simplificați fracția până devine ireductibilă, dacă este posibil.

$$8v^{2}+26v+15=8\times \frac{4v+3}{4}\left(v+\frac{5}{2}\right)$$

Adunați \frac{5}{2} cu v găsind un numitor comun și adunând numărătorii. Apoi simplificați fracția până devine ireductibilă, dacă este posibil.

$$8v^{2}+26v+15=8\times \frac{4v+3}{4}\times \frac{2v+5}{2}$$

Înmulțiți \frac{4v+3}{4} cu \frac{2v+5}{2} prin înmulțirea valorilor de la numărător și a valorilor de la numitor. Apoi simplificați fracția până devine ireductibilă, dacă este posibil.

$$8v^{2}+26v+15=8\times \frac{\left(4v+3\right)\left(2v+5\right)}{4\times 2}$$

Înmulțiți 4 cu 2.

$$8v^{2}+26v+15=8\times \frac{\left(4v+3\right)\left(2v+5\right)}{8}$$

Simplificați cu 8, cel mai mare factor comun din 8 și 8.

$$8v^{2}+26v+15=\left(4v+3\right)\left(2v+5\right)$$

Evaluați

$$\left(2v+5\right)\left(4v+3\right)$$