Rezolvați 8n^2-106n-7500=0

$$8 n ^ { 2 } - 106 n - 7500 = 0$$

Rezolvați pentru n

$$n = \frac{\sqrt{62809} + 53}{8} \approx 37,952154754$$

$$n=\frac{53-\sqrt{62809}}{8}\approx -24,702154754$$

Pași folosind formula rădăcinilor ecuației de gradul al doilea

Toate ecuațiile de forma ax^{2}+bx+c=0 pot fi rezolvate utilizând formula rădăcinilor ecuației de gradul al doilea: \frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a}. Formula rădăcinilor ecuației de gradul al doilea oferă două soluții, una atunci când operația ± este de adunare și una atunci când este de scădere.

$$8n^{2}-106n-7500=0$$

Această ecuație este în formă standard: ax^{2}+bx+c=0. Înlocuiți a cu 8, b cu -106 și c cu -7500 în formula rădăcinilor ecuațiilor de gradul al doilea, \frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a}.

$$n=\frac{-\left(-106\right)±\sqrt{\left(-106\right)^{2}-4\times 8\left(-7500\right)}}{2\times 8}$$

Ridicați -106 la pătrat.

$$n=\frac{-\left(-106\right)±\sqrt{11236-4\times 8\left(-7500\right)}}{2\times 8}$$

Înmulțiți -4 cu 8.

$$n=\frac{-\left(-106\right)±\sqrt{11236-32\left(-7500\right)}}{2\times 8}$$

Înmulțiți -32 cu -7500.

$$n=\frac{-\left(-106\right)±\sqrt{11236+240000}}{2\times 8}$$

Adunați 11236 cu 240000.

$$n=\frac{-\left(-106\right)±\sqrt{251236}}{2\times 8}$$

Aflați rădăcina pătrată pentru 251236.

$$n=\frac{-\left(-106\right)±2\sqrt{62809}}{2\times 8}$$

Opusul lui -106 este 106.

$$n=\frac{106±2\sqrt{62809}}{2\times 8}$$

Înmulțiți 2 cu 8.

$$n=\frac{106±2\sqrt{62809}}{16}$$

Acum rezolvați ecuația n=\frac{106±2\sqrt{62809}}{16} atunci când ± este plus. Adunați 106 cu 2\sqrt{62809}.

$$n=\frac{2\sqrt{62809}+106}{16}$$

Împărțiți 106+2\sqrt{62809} la 16.

$$n=\frac{\sqrt{62809}+53}{8}$$

Acum rezolvați ecuația n=\frac{106±2\sqrt{62809}}{16} atunci când ± este minus. Scădeți 2\sqrt{62809} din 106.

$$n=\frac{106-2\sqrt{62809}}{16}$$

Împărțiți 106-2\sqrt{62809} la 16.

$$n=\frac{53-\sqrt{62809}}{8}$$

Ecuația este rezolvată acum.

$$n=\frac{\sqrt{62809}+53}{8} n=\frac{53-\sqrt{62809}}{8}$$

Pași pentru completarea pătratului

Ecuațiile de gradul doi ca aceasta pot fi rezolvate prin completarea pătratului. Pentru a completa pătratul, ecuația trebuie mai întâi să fie sub forma x^{2}+bx=c.

$$8n^{2}-106n-7500=0$$

Adunați 7500 la ambele părți ale ecuației.

$$8n^{2}-106n-7500-\left(-7500\right)=-\left(-7500\right)$$

Scăderea -7500 din el însuși are ca rezultat 0.

$$8n^{2}-106n=-\left(-7500\right)$$

Scădeți -7500 din 0.

$$8n^{2}-106n=7500$$

Se împart ambele părți la 8.

$$\frac{8n^{2}-106n}{8}=\frac{7500}{8}$$

Împărțirea la 8 anulează înmulțirea cu 8.

$$n^{2}+\left(-\frac{106}{8}\right)n=\frac{7500}{8}$$

Reduceți fracția \frac{-106}{8} la cei mai mici termeni, prin extragerea și reducerea 2.

$$n^{2}-\frac{53}{4}n=\frac{7500}{8}$$

Reduceți fracția \frac{7500}{8} la cei mai mici termeni, prin extragerea și reducerea 4.

$$n^{2}-\frac{53}{4}n=\frac{1875}{2}$$

Împărțiți -\frac{53}{4}, coeficientul termenului x, la 2 pentru a obține -\frac{53}{8}. Apoi, adunați pătratul lui -\frac{53}{8} la ambele părți ale ecuației. Acest pas face din partea stângă a ecuației un pătrat perfect.

$$n^{2}-\frac{53}{4}n+\left(-\frac{53}{8}\right)^{2}=\frac{1875}{2}+\left(-\frac{53}{8}\right)^{2}$$

Ridicați -\frac{53}{8} la pătrat, calculând pătratul pentru numărătorul și numitorul fracției.

$$n^{2}-\frac{53}{4}n+\frac{2809}{64}=\frac{1875}{2}+\frac{2809}{64}$$

Adunați \frac{1875}{2} cu \frac{2809}{64} găsind un numitor comun și adunând numărătorii. Apoi simplificați fracția până devine ireductibilă, dacă este posibil.

$$n^{2}-\frac{53}{4}n+\frac{2809}{64}=\frac{62809}{64}$$

Factor n^{2}-\frac{53}{4}n+\frac{2809}{64}. În general, atunci când x^{2}+bx+c este un pătrat perfect, el poate fi descompus în factori oricând ca \left(x+\frac{b}{2}\right)^{2}.

$$\left(n-\frac{53}{8}\right)^{2}=\frac{62809}{64}$$

Aflați rădăcina pătrată pentru ambele părți ale ecuației.

$$\sqrt{\left(n-\frac{53}{8}\right)^{2}}=\sqrt{\frac{62809}{64}}$$

Simplificați.

$$n-\frac{53}{8}=\frac{\sqrt{62809}}{8} n-\frac{53}{8}=-\frac{\sqrt{62809}}{8}$$

Adunați \frac{53}{8} la ambele părți ale ecuației.

$$n=\frac{\sqrt{62809}+53}{8} n=\frac{53-\sqrt{62809}}{8}$$