Rezolvați 8a^2-10a+3=0

$$8 a ^ { 2 } - 10 a + 3 = 0$$

Rezolvați pentru a

$$a=\frac{1}{2}=0,5$$

$$a=\frac{3}{4}=0,75$$

Pași utilizând descompunerea în factori prin grupare

Pentru a rezolva ecuația, factor mâna stângă după grupare. Mai întâi, fața la stânga trebuie să fie rescrisă ca 8a^{2}+aa+ba+3. Pentru a găsi a și b, configurați un sistem pentru a fi rezolvat.

$$a+b=-10 ab=8\times 3=24$$

Deoarece ab este pozitiv, a și b au același semn. Deoarece a+b este negativ, a și b sunt negative. Listează toate perechi de valori întregi care oferă produse 24.

$$-1,-24 -2,-12 -3,-8 -4,-6$$

Calculați suma pentru fiecare pereche.

$$-1-24=-25 -2-12=-14 -3-8=-11 -4-6=-10$$

Soluția este perechea care dă suma de -10.

$$a=-6 b=-4$$

Rescrieți 8a^{2}-10a+3 ca \left(8a^{2}-6a\right)+\left(-4a+3\right).

$$\left(8a^{2}-6a\right)+\left(-4a+3\right)$$

Factor 2a în primul și -1 în al doilea grup.

$$2a\left(4a-3\right)-\left(4a-3\right)$$

Scoateți termenul comun 4a-3 prin utilizarea proprietății de distributivitate.

$$\left(4a-3\right)\left(2a-1\right)$$

Pentru a găsi soluții de ecuații, rezolvați 4a-3=0 și 2a-1=0.

$$a=\frac{3}{4} a=\frac{1}{2}$$

Pași folosind formula rădăcinilor ecuației de gradul al doilea

Toate ecuațiile de forma ax^{2}+bx+c=0 pot fi rezolvate utilizând formula rădăcinilor ecuației de gradul al doilea: \frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a}. Formula rădăcinilor ecuației de gradul al doilea oferă două soluții, una atunci când operația ± este de adunare și una atunci când este de scădere.

$$8a^{2}-10a+3=0$$

Această ecuație este în formă standard: ax^{2}+bx+c=0. Înlocuiți a cu 8, b cu -10 și c cu 3 în formula rădăcinilor ecuațiilor de gradul al doilea, \frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a}.

$$a=\frac{-\left(-10\right)±\sqrt{\left(-10\right)^{2}-4\times 8\times 3}}{2\times 8}$$

Ridicați -10 la pătrat.

$$a=\frac{-\left(-10\right)±\sqrt{100-4\times 8\times 3}}{2\times 8}$$

Înmulțiți -4 cu 8.

$$a=\frac{-\left(-10\right)±\sqrt{100-32\times 3}}{2\times 8}$$

Înmulțiți -32 cu 3.

$$a=\frac{-\left(-10\right)±\sqrt{100-96}}{2\times 8}$$

Adunați 100 cu -96.

$$a=\frac{-\left(-10\right)±\sqrt{4}}{2\times 8}$$

Aflați rădăcina pătrată pentru 4.

$$a=\frac{-\left(-10\right)±2}{2\times 8}$$

Opusul lui -10 este 10.

$$a=\frac{10±2}{2\times 8}$$

Înmulțiți 2 cu 8.

$$a=\frac{10±2}{16}$$

Acum rezolvați ecuația a=\frac{10±2}{16} atunci când ± este plus. Adunați 10 cu 2.

$$a=\frac{12}{16}$$

Reduceți fracția \frac{12}{16} la cei mai mici termeni, prin extragerea și reducerea 4.

$$a=\frac{3}{4}$$

Acum rezolvați ecuația a=\frac{10±2}{16} atunci când ± este minus. Scădeți 2 din 10.

$$a=\frac{8}{16}$$

Reduceți fracția \frac{8}{16} la cei mai mici termeni, prin extragerea și reducerea 8.

$$a=\frac{1}{2}$$

Ecuația este rezolvată acum.

$$a=\frac{3}{4} a=\frac{1}{2}$$

Pași pentru completarea pătratului

Ecuațiile de gradul doi ca aceasta pot fi rezolvate prin completarea pătratului. Pentru a completa pătratul, ecuația trebuie mai întâi să fie sub forma x^{2}+bx=c.

$$8a^{2}-10a+3=0$$

Scădeți 3 din ambele părți ale ecuației.

$$8a^{2}-10a+3-3=-3$$

Scăderea 3 din el însuși are ca rezultat 0.

$$8a^{2}-10a=-3$$

Se împart ambele părți la 8.

$$\frac{8a^{2}-10a}{8}=-\frac{3}{8}$$

Împărțirea la 8 anulează înmulțirea cu 8.

$$a^{2}+\left(-\frac{10}{8}\right)a=-\frac{3}{8}$$

Reduceți fracția \frac{-10}{8} la cei mai mici termeni, prin extragerea și reducerea 2.

$$a^{2}-\frac{5}{4}a=-\frac{3}{8}$$

Împărțiți -\frac{5}{4}, coeficientul termenului x, la 2 pentru a obține -\frac{5}{8}. Apoi, adunați pătratul lui -\frac{5}{8} la ambele părți ale ecuației. Acest pas face din partea stângă a ecuației un pătrat perfect.

$$a^{2}-\frac{5}{4}a+\left(-\frac{5}{8}\right)^{2}=-\frac{3}{8}+\left(-\frac{5}{8}\right)^{2}$$

Ridicați -\frac{5}{8} la pătrat, calculând pătratul pentru numărătorul și numitorul fracției.

$$a^{2}-\frac{5}{4}a+\frac{25}{64}=-\frac{3}{8}+\frac{25}{64}$$

Adunați -\frac{3}{8} cu \frac{25}{64} găsind un numitor comun și adunând numărătorii. Apoi simplificați fracția până devine ireductibilă, dacă este posibil.

$$a^{2}-\frac{5}{4}a+\frac{25}{64}=\frac{1}{64}$$

Factor a^{2}-\frac{5}{4}a+\frac{25}{64}. În general, atunci când x^{2}+bx+c este un pătrat perfect, el poate fi descompus în factori oricând ca \left(x+\frac{b}{2}\right)^{2}.

$$\left(a-\frac{5}{8}\right)^{2}=\frac{1}{64}$$

Aflați rădăcina pătrată pentru ambele părți ale ecuației.

$$\sqrt{\left(a-\frac{5}{8}\right)^{2}}=\sqrt{\frac{1}{64}}$$

Simplificați.

$$a-\frac{5}{8}=\frac{1}{8} a-\frac{5}{8}=-\frac{1}{8}$$

Adunați \frac{5}{8} la ambele părți ale ecuației.

$$a=\frac{3}{4} a=\frac{1}{2}$$