Rezolvați 8-26y+11y^2=0

$$8 - 26 y + 11 y ^ { 2 } = 0$$

Rezolvați pentru y

$$y=2$$

$$y=\frac{4}{11}\approx 0,363636364$$

Pași utilizând descompunerea în factori prin grupare

Rearanjați polinomul pentru a-l pune în formă standard. Plasați termenii în ordine de la cel mai mare la puterea minimă.

$$11y^{2}-26y+8=0$$

Pentru a rezolva ecuația, factor mâna stângă după grupare. Mai întâi, fața la stânga trebuie să fie rescrisă ca 11y^{2}+ay+by+8. Pentru a găsi a și b, configurați un sistem pentru a fi rezolvat.

$$a+b=-26 ab=11\times 8=88$$

Deoarece ab este pozitiv, a și b au același semn. Deoarece a+b este negativ, a și b sunt negative. Listează toate perechi de valori întregi care oferă produse 88.

$$-1,-88 -2,-44 -4,-22 -8,-11$$

Calculați suma pentru fiecare pereche.

$$-1-88=-89 -2-44=-46 -4-22=-26 -8-11=-19$$

Soluția este perechea care dă suma de -26.

$$a=-22 b=-4$$

Rescrieți 11y^{2}-26y+8 ca \left(11y^{2}-22y\right)+\left(-4y+8\right).

$$\left(11y^{2}-22y\right)+\left(-4y+8\right)$$

Factor 11y în primul și -4 în al doilea grup.

$$11y\left(y-2\right)-4\left(y-2\right)$$

Scoateți termenul comun y-2 prin utilizarea proprietății de distributivitate.

$$\left(y-2\right)\left(11y-4\right)$$

Pentru a găsi soluții de ecuații, rezolvați y-2=0 și 11y-4=0.

$$y=2 y=\frac{4}{11}$$

Pași folosind formula rădăcinilor ecuației de gradul al doilea

Toate ecuațiile de forma ax^{2}+bx+c=0 pot fi rezolvate utilizând formula rădăcinilor ecuației de gradul al doilea: \frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a}. Formula rădăcinilor ecuației de gradul al doilea oferă două soluții, una atunci când operația ± este de adunare și una atunci când este de scădere.

$$11y^{2}-26y+8=0$$

Această ecuație este în formă standard: ax^{2}+bx+c=0. Înlocuiți a cu 11, b cu -26 și c cu 8 în formula rădăcinilor ecuațiilor de gradul al doilea, \frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a}.

$$y=\frac{-\left(-26\right)±\sqrt{\left(-26\right)^{2}-4\times 11\times 8}}{2\times 11}$$

Ridicați -26 la pătrat.

$$y=\frac{-\left(-26\right)±\sqrt{676-4\times 11\times 8}}{2\times 11}$$

Înmulțiți -4 cu 11.

$$y=\frac{-\left(-26\right)±\sqrt{676-44\times 8}}{2\times 11}$$

Înmulțiți -44 cu 8.

$$y=\frac{-\left(-26\right)±\sqrt{676-352}}{2\times 11}$$

Adunați 676 cu -352.

$$y=\frac{-\left(-26\right)±\sqrt{324}}{2\times 11}$$

Aflați rădăcina pătrată pentru 324.

$$y=\frac{-\left(-26\right)±18}{2\times 11}$$

Opusul lui -26 este 26.

$$y=\frac{26±18}{2\times 11}$$

Înmulțiți 2 cu 11.

$$y=\frac{26±18}{22}$$

Acum rezolvați ecuația y=\frac{26±18}{22} atunci când ± este plus. Adunați 26 cu 18.

$$y=\frac{44}{22}$$

Împărțiți 44 la 22.

$$y=2$$

Acum rezolvați ecuația y=\frac{26±18}{22} atunci când ± este minus. Scădeți 18 din 26.

$$y=\frac{8}{22}$$

Reduceți fracția \frac{8}{22} la cei mai mici termeni, prin extragerea și reducerea 2.

$$y=\frac{4}{11}$$

Ecuația este rezolvată acum.

$$y=2 y=\frac{4}{11}$$

Pași pentru completarea pătratului

Ecuațiile de gradul doi ca aceasta pot fi rezolvate prin completarea pătratului. Pentru a completa pătratul, ecuația trebuie mai întâi să fie sub forma x^{2}+bx=c.

$$11y^{2}-26y+8=0$$

Scădeți 8 din ambele părți ale ecuației.

$$11y^{2}-26y+8-8=-8$$

Scăderea 8 din el însuși are ca rezultat 0.

$$11y^{2}-26y=-8$$

Se împart ambele părți la 11.

$$\frac{11y^{2}-26y}{11}=-\frac{8}{11}$$

Împărțirea la 11 anulează înmulțirea cu 11.

$$y^{2}-\frac{26}{11}y=-\frac{8}{11}$$

Împărțiți -\frac{26}{11}, coeficientul termenului x, la 2 pentru a obține -\frac{13}{11}. Apoi, adunați pătratul lui -\frac{13}{11} la ambele părți ale ecuației. Acest pas face din partea stângă a ecuației un pătrat perfect.

$$y^{2}-\frac{26}{11}y+\left(-\frac{13}{11}\right)^{2}=-\frac{8}{11}+\left(-\frac{13}{11}\right)^{2}$$

Ridicați -\frac{13}{11} la pătrat, calculând pătratul pentru numărătorul și numitorul fracției.

$$y^{2}-\frac{26}{11}y+\frac{169}{121}=-\frac{8}{11}+\frac{169}{121}$$

Adunați -\frac{8}{11} cu \frac{169}{121} găsind un numitor comun și adunând numărătorii. Apoi simplificați fracția până devine ireductibilă, dacă este posibil.

$$y^{2}-\frac{26}{11}y+\frac{169}{121}=\frac{81}{121}$$

Factor y^{2}-\frac{26}{11}y+\frac{169}{121}. În general, atunci când x^{2}+bx+c este un pătrat perfect, el poate fi descompus în factori oricând ca \left(x+\frac{b}{2}\right)^{2}.

$$\left(y-\frac{13}{11}\right)^{2}=\frac{81}{121}$$

Aflați rădăcina pătrată pentru ambele părți ale ecuației.

$$\sqrt{\left(y-\frac{13}{11}\right)^{2}}=\sqrt{\frac{81}{121}}$$

Simplificați.

$$y-\frac{13}{11}=\frac{9}{11} y-\frac{13}{11}=-\frac{9}{11}$$

Adunați \frac{13}{11} la ambele părți ale ecuației.

$$y=2 y=\frac{4}{11}$$